Theorem cnvi 3447

Description: The converse of the identity relation. Theorem 3.7(ii) of [Monk1] p. 36.

Assertion

Ref	Expression
cnvi	|- `'I = I

Proof of Theorem cnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3435	. 2 |- Rel `'I
2		reli 3273	. 2 |- Rel I
3		eqcom 1477	. . 3 |- (x = y <-> y = x)
4		df-br 2620	. . . 4 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
5		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
6	5	ideq 3277	. . . 4 |- (xIy <-> x = y)
7	4, 6	bitr3 175	. . 3 |- (<.x, y>. e. I <-> x = y)
8		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
9	8, 5	brcnv 3299	. . . 4 |- (x`'Iy <-> yIx)
10		df-br 2620	. . . 4 |- (x`'Iy <-> <.x, y>. e. `'I)
11	8	ideq 3277	. . . 4 |- (yIx <-> y = x)
12	9, 10, 11	3bitr3 181	. . 3 |- (<.x, y>. e. `'I <-> y = x)
13	3, 7, 12	3bitr4r 184	. 2 |- (<.x, y>. e. `'I <-> <.x, y>. e. I)
14	1, 2, 13	eqrelriv 3251	1 |- `'I = I

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Icid 2831  `'ccnv 3169

This theorem is referenced by:  coi2 3511  funi 3545  cnvresid 3569  f1oi 3717  ssdomg 4408  idcn 7766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186

Copyright terms: Public domain