Theorem cnpval 7759

Description: The set of all functions from topology J to topology K that are continuous at a point P.

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U.J
iscn.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnpval	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> ((J CnP K)` P) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))})

Distinct variable groups:   x,f,y,J   y,K,f   P,f,x,y   f,X,y   f,Y,y

Proof of Theorem cnpval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn.1	. . . . 5 |- X = U.J
2		iscn.2	. . . . 5 |- Y = U.K
3	1, 2	cnpfval 7757	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J CnP K) = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y))})})
4	3	fveq1d 3726	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((J CnP K)` P) = ({<.w, v>. | (w e. X /\ v = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y))})}` P))
5	4	3adant3 799	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> ((J CnP K)` P) = ({<.w, v>. | (w e. X /\ v = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y))})}` P))
6		fveq2 3724	. . . . . . . 8 |- (w = P -> (f` w) = (f` P))
7	6	eleq1d 1540	. . . . . . 7 |- (w = P -> ((f` w) e. y <-> (f` P) e. y))
8		eleq1 1534	. . . . . . . . 9 |- (w = P -> (w e. x <-> P e. x))
9	8	anbi1d 617	. . . . . . . 8 |- (w = P -> ((w e. x /\ (f"x) (_ y) <-> (P e. x /\ (f"x) (_ y)))
10	9	rexbidv 1664	. . . . . . 7 |- (w = P -> (E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y) <-> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y)))
11	7, 10	imbi12d 626	. . . . . 6 |- (w = P -> (((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y)) <-> ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))))
12	11	ralbidv 1663	. . . . 5 |- (w = P -> (A.y e. K ((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y)) <-> A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))))
13	12	rabbisdv 1807	. . . 4 |- (w = P -> {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y))} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))})
14		eqid 1475	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. X /\ v = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y))})} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y))})}
15		oprex 3983	. . . . 5 |- (Y ^m X) e. V
16	15	rabex 2725	. . . 4 |- {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))} e. V
17	13, 14, 16	fvopab4 3780	. . 3 |- (P e. X -> ({<.w, v>. | (w e. X /\ v = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y))})}` P) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))})
18	17	3ad2ant3 802	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> ({<.w, v>. | (w e. X /\ v = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` w) e. y -> E.x e. J (w e. x /\ (f"x) (_ y))})}` P) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))})
19	5, 18	eqtrd 1507	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> ((J CnP K)` P) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   (_ wss 2047  U.cuni 2503  {copab 2666  "cima 3173  ` cfv 3182  (class class class)co 3963   ^m cm 4322  Topctop 7588   CnP ccnp 7753

This theorem is referenced by:  iscnp 7760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-cnp 7755

Copyright terms: Public domain