Theorem cnpimaex 7762

Description: Property of a function continuous at a point. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnpimaex.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
cnpimaex	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. K /\ (F` P) e. A)) -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A))

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,J   x,P

Proof of Theorem cnpimaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpimaex.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2		eqid 1478	. . . . . 6 |- U.K = U.K
3	1, 2	iscnp 7757	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->U.K /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
4	3	pm3.27bda 423	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))
5	4	ex 373	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))))
6		eleq2 1538	. . . . 5 |- (y = A -> ((F` P) e. y <-> (F` P) e. A))
7		sseq2 2086	. . . . . . 7 |- (y = A -> ((F"x) (_ y <-> (F"x) (_ A))
8	7	anbi2d 618	. . . . . 6 |- (y = A -> ((P e. x /\ (F"x) (_ y) <-> (P e. x /\ (F"x) (_ A)))
9	8	rexbidv 1667	. . . . 5 |- (y = A -> (E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y) <-> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A)))
10	6, 9	imbi12d 628	. . . 4 |- (y = A -> (((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)) <-> ((F` P) e. A -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A))))
11	10	rcla4cv 1877	. . 3 |- (A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)) -> (A e. K -> ((F` P) e. A -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A))))
12	5, 11	syl6 22	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> (A e. K -> ((F` P) e. A -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A)))))
13	12	3imp2 850	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. K /\ (F` P) e. A)) -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050  U.cuni 2507  "cima 3179  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Topctop 7590   CnP ccnp 7750

This theorem is referenced by:  cnpco 7766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-map 4330  df-cnp 7752

Copyright terms: Public domain