Theorem cnnv 8307

Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is +, the scalar product is x., and the norm function is abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnv.6	|- U = <.<. + , x. >., abs>.

Assertion

Ref	Expression
cnnv	|- U e. NrmCVec

Proof of Theorem cnnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabl 8126	. . . 4 |- + e. Abel
2		ablgrp 8102	. . . 4 |- ( + e. Abel -> + e. Grp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- + e. Grp
4		axaddopr 5265	. . . 4 |- + :(CC X. CC)-->CC
5	4	fdmi 3632	. . 3 |- dom + = (CC X. CC)
6	3, 5	grprn 8056	. 2 |- CC = ran +
7		cnid 8127	. 2 |- 0 = (Id` + )
8		cnvc 8202	. 2 |- <. + , x. >. e. CVec
9		absf 6906	. 2 |- abs:CC-->RR
10		abs00t 6853	. . 3 |- (x e. CC -> ((abs` x) = 0 <-> x = 0))
11	10	biimpa 416	. 2 |- ((x e. CC /\ (abs` x) = 0) -> x = 0)
12		absmult 6858	. 2 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (abs` (y x. x)) = ((abs` y) x. (abs` x)))
13		abstrit 6898	. 2 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (abs` (x + y)) <_ ((abs` x) + (abs` y)))
14		cnnv.6	. 2 |- U = <.<. + , x. >., abs>.
15	6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14	isnvi 8232	1 |- U e. NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168  ` cfv 3182  CCcc 5232  0cc0 5234   + caddc 5237   x. cmul 5239  abscabs 6750  Grpcgr 8033  Abelcabl 8099  NrmCVeccnv 8203

This theorem is referenced by:  cnnvdemo 8310  cnnvm 8313  elimnvu 8315  cnims 8334  abscn 8343  cnph 8478  ipblnfi 8516  cnbn 8528  htthlem8 8627  htthlem10 8629  htthlem11 8630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211

Copyright terms: Public domain