Theorem cnfval 7756

Description: The set of all continuous functions from topology J to topology K.

Hypotheses

Ref	Expression
cnfval.1	|- X = U.J
cnfval.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnfval	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J Cn K) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})

Distinct variable groups:   y,f,J   f,K,y   f,X,y   f,Y,y

Proof of Theorem cnfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3983	. . 3 |- (Y ^m X) e. V
2	1	rabex 2725	. 2 |- {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J} e. V
3		unieq 2510	. . . . . 6 |- (j = J -> U.j = U.J)
4		cnfval.1	. . . . . 6 |- X = U.J
5	3, 4	syl6eqr 1525	. . . . 5 |- (j = J -> U.j = X)
6	5	opreq2d 3976	. . . 4 |- (j = J -> (U.k ^m U.j) = (U.k ^m X))
7		rabeq 1809	. . . 4 |- ((U.k ^m U.j) = (U.k ^m X) -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. j})
8	6, 7	syl 10	. . 3 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. j})
9		eleq2 1535	. . . . 5 |- (j = J -> ((`'f"y) e. j <-> (`'f"y) e. J))
10	9	ralbidv 1663	. . . 4 |- (j = J -> (A.y e. k (`'f"y) e. j <-> A.y e. k (`'f"y) e. J))
11	10	rabbisdv 1807	. . 3 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
12	8, 11	eqtrd 1507	. 2 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
13		unieq 2510	. . . . . 6 |- (k = K -> U.k = U.K)
14		cnfval.2	. . . . . 6 |- Y = U.K
15	13, 14	syl6eqr 1525	. . . . 5 |- (k = K -> U.k = Y)
16	15	opreq1d 3975	. . . 4 |- (k = K -> (U.k ^m X) = (Y ^m X))
17		rabeq 1809	. . . 4 |- ((U.k ^m X) = (Y ^m X) -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
18	16, 17	syl 10	. . 3 |- (k = K -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
19		raleq1 1786	. . . 4 |- (k = K -> (A.y e. k (`'f"y) e. J <-> A.y e. K (`'f"y) e. J))
20	19	rabbisdv 1807	. . 3 |- (k = K -> {f e. (Y ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})
21	18, 20	eqtrd 1507	. 2 |- (k = K -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})
22		df-cn 7754	. 2 |- Cn = {<.<.j, k>., z>. | ((j e. Top /\ k e. Top) /\ z = {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j})}
23	2, 12, 21, 22	oprabval2 4028	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J Cn K) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {crab 1648  U.cuni 2503  `'ccnv 3169  "cima 3173  (class class class)co 3963   ^m cm 4322  Topctop 7588   Cn ccn 7752

This theorem is referenced by:  iscn 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-cn 7754

Copyright terms: Public domain