Theorem cnegextlem3 5319

Description: Lemma for cnegext 5320.

Assertion

Ref	Expression
cnegextlem3	|- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.c e. RR (b + c) = y)

Distinct variable group:   b,c,y

Proof of Theorem cnegextlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axrnegex 5255	. . 3 |- (y e. RR -> E.x e. RR (y + x) = 0)
2	1	adantl 388	. 2 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.x e. RR (y + x) = 0)
3		axaddrcl 5244	. . . . . . . 8 |- ((b e. RR /\ x e. RR) -> (b + x) e. RR)
4		axrnegex 5255	. . . . . . . 8 |- ((b + x) e. RR -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
5	3, 4	syl 10	. . . . . . 7 |- ((b e. RR /\ x e. RR) -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
6	5	adantlr 393	. . . . . 6 |- (((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
7	6	adantr 389	. . . . 5 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
8		add23t 5309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((b e. CC /\ x e. CC /\ c e. CC) -> ((b + x) + c) = ((b + c) + x))
9	8	3expa 831	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((b e. CC /\ x e. CC) /\ c e. CC) -> ((b + x) + c) = ((b + c) + x))
10		axaddcom 5247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((b + c) e. CC /\ x e. CC) -> ((b + c) + x) = (x + (b + c)))
11		axaddcl 5243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((b e. CC /\ c e. CC) -> (b + c) e. CC)
12	10, 11	sylan 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((b e. CC /\ c e. CC) /\ x e. CC) -> ((b + c) + x) = (x + (b + c)))
13	12	an1rs 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((b e. CC /\ x e. CC) /\ c e. CC) -> ((b + c) + x) = (x + (b + c)))
14	9, 13	eqtr2d 1500	. . . . . . . . . . . 12 |- (((b e. CC /\ x e. CC) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
15		recnt 5285	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> x e. CC)
16	14, 15	sylanl2 461	. . . . . . . . . . 11 |- (((b e. CC /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
17	16	adantllr 397	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
18	17	adantlr 393	. . . . . . . . 9 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
19		axaddcom 5247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) = (y + x))
20	19	ancoms 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (x + y) = (y + x))
21	20, 15	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ x e. RR) -> (x + y) = (y + x))
22		id 59	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y + x) = 0 -> (y + x) = 0)
23	21, 22	sylan9eq 1519	. . . . . . . . . . 11 |- (((y e. CC /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (x + y) = 0)
24	23	adantlll 396	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (x + y) = 0)
25	24	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> (x + y) = 0)
26	18, 25	eqeq12d 1481	. . . . . . . 8 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> ((b + x) + c) = 0))
27		cnegextlem1 5317	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ (b + c) e. CC /\ y e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> (b + c) = y))
28		simplr 413	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> x e. RR)
29	11	adantlr 393	. . . . . . . . . . 11 |- (((b e. CC /\ y e. CC) /\ c e. CC) -> (b + c) e. CC)
30	29	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> (b + c) e. CC)
31		simplr 413	. . . . . . . . . . 11 |- (((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) -> y e. CC)
32	31	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> y e. CC)
33	27, 28, 30, 32	syl3anc 856	. . . . . . . . 9 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> (b + c) = y))
34	33	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> (b + c) = y))
35	26, 34	bitr3d 528	. . . . . . 7 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> (((b + x) + c) = 0 <-> (b + c) = y))
36		recnt 5285	. . . . . . . . . 10 |- (b e. RR -> b e. CC)
37		recnt 5285	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR -> y e. CC)
38	36, 37	anim12i 333	. . . . . . . . 9 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> (b e. CC /\ y e. CC))
39	38	anim1i 334	. . . . . . . 8 |- (((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) -> ((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR))
40	39	anim1i 334	. . . . . . 7 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0))
41		recnt 5285	. . . . . . 7 |- (c e. RR -> c e. CC)
42	35, 40, 41	syl2an 454	. . . . . 6 |- (((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. RR) -> (((b + x) + c) = 0 <-> (b + c) = y))
43	42	rexbidva 1652	. . . . 5 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (E.c e. RR ((b + x) + c) = 0 <-> E.c e. RR (b + c) = y))
44	7, 43	mpbid 195	. . . 4 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> E.c e. RR (b + c) = y)
45	44	ex 373	. . 3 |- (((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) -> ((y + x) = 0 -> E.c e. RR (b + c) = y))
46	45	r19.23adva 1739	. 2 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> (E.x e. RR (y + x) = 0 -> E.c e. RR (b + c) = y))
47	2, 46	mpd 26	1 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.c e. RR (b + c) = y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209

This theorem is referenced by:  cnegext 5320

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218

Copyright terms: Public domain