Theorem cnegextlem2 5318

Description: Lemma for cnegext 5320.

Assertion

Ref	Expression
cnegextlem2	|- E.y e. RR (i x. y) e. RR

Proof of Theorem cnegextlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 5300	. . 3 |- 0 e. CC
2		axcnre 5258	. . 3 |- (0 e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y))
4		axrnegex 5255	. . . . . 6 |- (x e. RR -> E.z e. RR (x + z) = 0)
5	4	adantr 389	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> E.z e. RR (x + z) = 0)
6		addid2t 5301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. CC -> (0 + z) = z)
7	6	3ad2ant3 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> (0 + z) = z)
8	7	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (0 + z) = z)
9		opreq1 3953	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x + z) = 0 -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + (i x. y)))
10	9	ad2antrl 406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + (i x. y)))
11		add23t 5309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. CC /\ z e. CC /\ (i x. y) e. CC) -> ((x + z) + (i x. y)) = ((x + (i x. y)) + z))
12	11	3com23 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> ((x + z) + (i x. y)) = ((x + (i x. y)) + z))
13		opreq1 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (0 = (x + (i x. y)) -> (0 + z) = ((x + (i x. y)) + z))
14	13	eqcomd 1472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (0 = (x + (i x. y)) -> ((x + (i x. y)) + z) = (0 + z))
15	12, 14	sylan9eq 1519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ 0 = (x + (i x. y))) -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + z))
16	15	adantrl 394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + z))
17		addid2t 5301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((i x. y) e. CC -> (0 + (i x. y)) = (i x. y))
18	17	3ad2ant2 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> (0 + (i x. y)) = (i x. y))
19	18	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (0 + (i x. y)) = (i x. y))
20	10, 16, 19	3eqtr3d 1507	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (0 + z) = (i x. y))
21	8, 20	eqtr3d 1501	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> z = (i x. y))
22	21	ex 373	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> (((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y))) -> z = (i x. y)))
23		recnt 5285	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. CC)
24		recnt 5285	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. RR -> y e. CC)
25		axicn 5242	. . . . . . . . . . . . 13 |- i e. CC
26		axmulcl 5245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((i e. CC /\ y e. CC) -> (i x. y) e. CC)
27	25, 26	mpan 693	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. CC -> (i x. y) e. CC)
28	24, 27	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. RR -> (i x. y) e. CC)
29		recnt 5285	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> z e. CC)
30	22, 23, 28, 29	syl3an 866	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR) -> (((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y))) -> z = (i x. y)))
31	30	3expa 831	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) -> (((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y))) -> z = (i x. y)))
32	31	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> z = (i x. y))
33		simplr 413	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> z e. RR)
34	32, 33	eqeltrrd 1541	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (i x. y) e. RR)
35	34	exp32 377	. . . . . 6 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) -> ((x + z) = 0 -> (0 = (x + (i x. y)) -> (i x. y) e. RR)))
36	35	r19.23adva 1739	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (E.z e. RR (x + z) = 0 -> (0 = (x + (i x. y)) -> (i x. y) e. RR)))
37	5, 36	mpd 26	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (0 = (x + (i x. y)) -> (i x. y) e. RR))
38	37	r19.22dva 1731	. . 3 |- (x e. RR -> (E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)) -> E.y e. RR (i x. y) e. RR))
39	38	r19.23aiv 1735	. 2 |- (E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)) -> E.y e. RR (i x. y) e. RR)
40	3, 39	ax-mp 7	1 |- E.y e. RR (i x. y) e. RR

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211

This theorem is referenced by:  cnegext 5320

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218

Copyright terms: Public domain