Theorem cncnpi 7773

Description: A continuous function is continuous at all points. One direction of Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsscnp.1	|- X = U.J
cnsscnp.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cncnpi	|- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A e. X)) -> F e. ((J CnP K)` A))

Proof of Theorem cncnpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsscnp.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2		cnsscnp.2	. . . . . 6 |- Y = U.K
3	1, 2	cnsscnp 7772	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X) -> (J Cn K) (_ ((J CnP K)` A))
4	3	sseld 2067	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X) -> (F e. (J Cn K) -> F e. ((J CnP K)` A)))
5	4	3expia 835	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (A e. X -> (F e. (J Cn K) -> F e. ((J CnP K)` A))))
6	5	com23 32	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) -> (A e. X -> F e. ((J CnP K)` A))))
7	6	imp32 363	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A e. X)) -> F e. ((J CnP K)` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  U.cuni 2503  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Topctop 7588   Cn ccn 7752   CnP ccnp 7753

This theorem is referenced by:  blocni 8465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-cn 7754  df-cnp 7755

Copyright terms: Public domain