Theorem cncnp 7778

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
cncnp.1	|- X = U.J
cncnp.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cncnp	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))

Distinct variable groups:   x,J   x,K   x,F   x,X   x,Y

Proof of Theorem cncnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncnp.1	. . . . . . . 8 |- X = U.J
2		cncnp.2	. . . . . . . 8 |- Y = U.K
3	1, 2	cnsscnp 7772	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ x e. X) -> (J Cn K) (_ ((J CnP K)` x))
4	3	sseld 2067	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ x e. X) -> (F e. (J Cn K) -> F e. ((J CnP K)` x)))
5	4	3expia 835	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (x e. X -> (F e. (J Cn K) -> F e. ((J CnP K)` x))))
6	5	com23 32	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) -> (x e. X -> F e. ((J CnP K)` x))))
7	6	r19.21adv 1718	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) -> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))
8	7	3adant3 799	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) -> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))
9		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- ((F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)))
10	9	r19.20si 1706	. . . . . . 7 |- (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)))
11	10	anim2i 335	. . . . . 6 |- ((F:X-->Y /\ A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)))) -> (F:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))))
12	11	ex 373	. . . . 5 |- (F:X-->Y -> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)))))
13	1	cncnplem4 7777	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. Top -> ((F:X-->Y /\ A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> (`'F"y) e. J))
14	13	exp3a 375	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> (F:X-->Y -> (A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)) -> (`'F"y) e. J)))
15	14	imp 350	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)) -> (`'F"y) e. J))
16	15	r19.20sdv 1710	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)) -> A.y e. K (`'F"y) e. J))
17	16	ex 373	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (F:X-->Y -> (A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)) -> A.y e. K (`'F"y) e. J)))
18	17	imdistand 445	. . . . . 6 |- (J e. Top -> ((F:X-->Y /\ A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
19		ralcom 1774	. . . . . . 7 |- (A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)) <-> A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)))
20	19	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((F:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))))
21	18, 20	syl5ib 206	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((F:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
22	12, 21	sylan9r 469	. . . 4 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
23	22	3adant2 798	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
24	1, 2	iscnp 7760	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ x e. X) -> (F e. ((J CnP K)` x) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)))))
25	24	3expa 833	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ x e. X) -> (F e. ((J CnP K)` x) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)))))
26	25	ralbidva 1659	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) <-> A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y)))))
27	1, 2	iscn 7758	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
28	26, 27	imbi12d 626	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) -> F e. (J Cn K)) <-> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J))))
29	28	3adant3 799	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> ((A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) -> F e. (J Cn K)) <-> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) (_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J))))
30	23, 29	mpbird 196	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) -> F e. (J Cn K)))
31	8, 30	impbid 516	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  U.cuni 2503  `'ccnv 3169  "cima 3173  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Topctop 7588   Cn ccn 7752   CnP ccnp 7753

This theorem is referenced by:  cncnp2 7779  metcn 7889  metcn4 7971

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755