Theorem cnclima 7771

Description: A closed subset of the codomain of a continuous function has a closed pre-image.

Assertion

Ref	Expression
cnclima	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ A e. (Clsd` K)) -> (`'F"A) e. (Clsd` J))

Proof of Theorem cnclima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . . . 6 |- U.J = U.J
2		eqid 1475	. . . . . 6 |- U.K = U.K
3	1, 2	iscncl 7770	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:U.J-->U.K /\ A.x e. (Clsd` K)(`'F"x) e. (Clsd` J))))
4	3	pm3.27bda 421	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Cn K)) -> A.x e. (Clsd` K)(`'F"x) e. (Clsd` J))
5	4	3impa 828	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> A.x e. (Clsd` K)(`'F"x) e. (Clsd` J))
6		imaeq2 3402	. . . . 5 |- (x = A -> (`'F"x) = (`'F"A))
7	6	eleq1d 1540	. . . 4 |- (x = A -> ((`'F"x) e. (Clsd` J) <-> (`'F"A) e. (Clsd` J)))
8	7	rcla4cv 1874	. . 3 |- (A.x e. (Clsd` K)(`'F"x) e. (Clsd` J) -> (A e. (Clsd` K) -> (`'F"A) e. (Clsd` J)))
9	5, 8	syl 10	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> (A e. (Clsd` K) -> (`'F"A) e. (Clsd` J)))
10	9	imp 350	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ A e. (Clsd` K)) -> (`'F"A) e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  U.cuni 2503  `'ccnv 3169  "cima 3173  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Topctop 7588  Clsdccld 7660   Cn ccn 7752

This theorem is referenced by:  dnsconst 7788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-cld 7663  df-cn 7754

Copyright terms: Public domain