Theorem cncfmet1 7906

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet1.1	|- D = (abs o. - )
cncfmet1.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
cncfmet1	|- (CC-cn->CC) = (J Cn J)

Proof of Theorem cncfmet1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2080	. 2 |- CC (_ CC
2		cncfmet1.1	. . . 4 |- D = (abs o. - )
3		relco 3484	. . . . 5 |- Rel (abs o. - )
4		subopr 5370	. . . . . . . . . 10 |- - :(CC X. CC)-->CC
5		frn 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( - :(CC X. CC)-->CC -> ran - (_ CC)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ran - (_ CC
7		absf 6906	. . . . . . . . . 10 |- abs:CC-->RR
8	7	fdmi 3632	. . . . . . . . 9 |- dom abs = CC
9	6, 8	sseqtr4 2094	. . . . . . . 8 |- ran - (_ dom abs
10		dmcosseq 3365	. . . . . . . 8 |- (ran - (_ dom abs -> dom (abs o. - ) = dom - )
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom (abs o. - ) = dom -
12	4	fdmi 3632	. . . . . . 7 |- dom - = (CC X. CC)
13	11, 12	eqtr 1495	. . . . . 6 |- dom (abs o. - ) = (CC X. CC)
14	13	eqimssi 2111	. . . . 5 |- dom (abs o. - ) (_ (CC X. CC)
15		relssres 3392	. . . . 5 |- ((Rel (abs o. - ) /\ dom (abs o. - ) (_ (CC X. CC)) -> ((abs o. - ) |` (CC X. CC)) = (abs o. - ))
16	3, 14, 15	mp2an 697	. . . 4 |- ((abs o. - ) |` (CC X. CC)) = (abs o. - )
17	2, 16	eqtr4 1498	. . 3 |- D = ((abs o. - ) |` (CC X. CC))
18		cncfmet1.2	. . 3 |- J = (Open` D)
19	17, 17, 18, 18	cncfmet 7905	. 2 |- ((CC (_ CC /\ CC (_ CC) -> (CC-cn->CC) = (J Cn J))
20	1, 1, 19	mp2an 697	1 |- (CC-cn->CC) = (J Cn J)

Syntax hints:   = wceq 956   (_ wss 2047   X. cxp 3168  dom cdm 3170  ran crn 3171   |` cres 3172   o. ccom 3174  Rel wrel 3175  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233   - cmin 5292  abscabs 6750  -cn->ccncf 7262   Cn ccn 7752  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  sincnlem 8666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-rp 6281  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-cncf 7263  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796

Copyright terms: Public domain