Theorem cmsmet 7961

Description: A complete metric space is a metric space.

Assertion

Ref	Expression
cmsmet	|- (D e. CMet -> D e. Met)

Proof of Theorem cmsmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . 3 |- dom dom D = dom dom D
2	1	iscms 7946	. 2 |- (D e. CMet <-> (D e. Met /\ A.f e. (Cau` D)E.x e. dom dom D f(~~>m` D)x))
3	2	pm3.26bi 322	1 |- (D e. CMet -> D e. Met)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ` cfv 3182  Metcme 7789  ~~>mclm 7919  Caucca 7920  CMetcms 7921

This theorem is referenced by:  cmsmeti 7962  cmsss 7997  bcthlem20 8018

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-cmet 7924

Copyright terms: Public domain