Theorem cmphmib 10727

Description: Composite of a member of a homset with the identity. JFM CAT₁ th. 58

Hypotheses

Ref	Expression
cmphmib.1	|- O = dom (id` T)
cmphmib.2	|- H = (hom` T)
cmphmib.3	|- J = (id` T)
cmphmib.4	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
cmphmib	|- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> (FR(J` A)) = F))

Proof of Theorem cmphmib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmphmib.1	. . . 4 |- O = dom (id` T)
2		eqid 1475	. . . 4 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
3		cmphmib.2	. . . 4 |- H = (hom` T)
4	1, 2, 3	ehm 10719	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> F e. dom (dom` T)))
5		eqid 1475	. . . 4 |- (dom` T) = (dom` T)
6	1, 5, 3	dehm 10720	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> ((dom` T)` F) = A))
7	4, 6	jcad 600	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> (F e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` F) = A)))
8		cmphmib.3	. . . . . . . . 9 |- J = (id` T)
9	8	eqcomi 1479	. . . . . . . 8 |- (id` T) = J
10	9	dmeqi 3312	. . . . . . 7 |- dom (id` T) = dom J
11	1, 10	eqtr 1495	. . . . . 6 |- O = dom J
12		cmphmib.4	. . . . . 6 |- R = (o` T)
13	2, 5, 11, 8, 12	cmpidb 10708	. . . . 5 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ F e. dom (dom` T)) -> (((dom` T)` F) = A -> (FR(J` A)) = F))
14	13	3exp 832	. . . 4 |- (T e. Cat -> (A e. O -> (F e. dom (dom` T) -> (((dom` T)` F) = A -> (FR(J` A)) = F))))
15	14	imp4b 365	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((F e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` F) = A) -> (FR(J` A)) = F))
16	15	3adant3 799	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> ((F e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` F) = A) -> (FR(J` A)) = F))
17	7, 16	syld 27	1 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> (FR(J` A)) = F))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  domcdom_ 10644  idcid_ 10646  oco_ 10647  Catccat 10685  homchom 10713

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-alg 10648  df-doma 10649  df-coda 10650  df-ida 10651  df-cmpa 10652  df-ded 10668  df-cat 10686  df-hom 10714

Copyright terms: Public domain