Theorem cmntrcld 7694

Description: The complement of an interior is closed.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
cmntrcld	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ ((int` J)` S)) e. (Clsd` J))

Proof of Theorem cmntrcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	ntrval2 7686	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((int` J)` S) = (X \ ((cls` J)` (X \ S))))
3	2	difeq2d 2159	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ ((int` J)` S)) = (X \ (X \ ((cls` J)` (X \ S)))))
4		difss 2167	. . . . . 6 |- (X \ S) (_ X
5	1	clsss3 7691	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (X \ S) (_ X) -> ((cls` J)` (X \ S)) (_ X)
6	4, 5	mpan2 696	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((cls` J)` (X \ S)) (_ X)
7		dfss4 2242	. . . . 5 |- (((cls` J)` (X \ S)) (_ X <-> (X \ (X \ ((cls` J)` (X \ S)))) = ((cls` J)` (X \ S)))
8	6, 7	sylib 198	. . . 4 |- (J e. Top -> (X \ (X \ ((cls` J)` (X \ S)))) = ((cls` J)` (X \ S)))
9	1	clscld 7683	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (X \ S) (_ X) -> ((cls` J)` (X \ S)) e. (Clsd` J))
10	4, 9	mpan2 696	. . . 4 |- (J e. Top -> ((cls` J)` (X \ S)) e. (Clsd` J))
11	8, 10	eqeltrd 1548	. . 3 |- (J e. Top -> (X \ (X \ ((cls` J)` (X \ S)))) e. (Clsd` J))
12	11	adantr 389	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ (X \ ((cls` J)` (X \ S)))) e. (Clsd` J))
13	3, 12	eqeltrd 1548	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ ((int` J)` S)) e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   \ cdif 2044   (_ wss 2047  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  Clsdccld 7660  intcnt 7661  clsccl 7662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-top 7592  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665

Copyright terms: Public domain