Theorem cmclsopn 7635

Description: The complement of a closure is open.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
cmclsopn	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ ((cls` J)` S)) e. J)

Proof of Theorem cmclsopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	clsval2 7627	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) = (X \ ((int` J)` (X \ S))))
3	2	difeq2d 2149	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ ((cls` J)` S)) = (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))))
4		difss 2157	. . . . . . 7 |- (X \ S) (_ X
5	1	ntropn 7626	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (X \ S) (_ X) -> ((int` J)` (X \ S)) e. J)
6	4, 5	mpan2 694	. . . . . 6 |- (J e. Top -> ((int` J)` (X \ S)) e. J)
7	1	eltopss 7545	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ ((int` J)` (X \ S)) e. J) -> ((int` J)` (X \ S)) (_ X)
8	6, 7	mpdan 702	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((int` J)` (X \ S)) (_ X)
9		dfss4 2232	. . . . 5 |- (((int` J)` (X \ S)) (_ X <-> (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))) = ((int` J)` (X \ S)))
10	8, 9	sylib 198	. . . 4 |- (J e. Top -> (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))) = ((int` J)` (X \ S)))
11	10, 6	eqeltrd 1540	. . 3 |- (J e. Top -> (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))) e. J)
12	11	adantr 389	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))) e. J)
13	3, 12	eqeltrd 1540	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ ((cls` J)` S)) e. J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   \ cdif 2034   (_ wss 2037  U.cuni 2493  ` cfv 3172  Topctop 7530  intcnt 7603  clsccl 7604

This theorem is referenced by:  elcls 7646  bcthlem9 7941  bcthlem10 7942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-top 7534  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607

Copyright terms: Public domain