Theorem clslp 7748

Description: The closure of a subset of a topological space is the subset together with its limit points. Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97.

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
clslp	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) = (S u. ((limPt` J)` S)))

Proof of Theorem clslp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- X = U.J
2	1	neindisj 7731	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ (x e. ((cls` J)` S) /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> (n i^i S) =/= (/))
3	2	anassrs 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ n e. ((nei` J)` {x})) -> (n i^i S) =/= (/))
4	3	ex 373	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i S) =/= (/)))
5	4	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ -. x e. S) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i S) =/= (/)))
6		difsn 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. x e. S -> (S \ {x}) = S)
7	6	ineq2d 2217	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. x e. S -> (n i^i (S \ {x})) = (n i^i S))
8	7	neeq1d 1594	. . . . . . . . . . 11 |- (-. x e. S -> ((n i^i (S \ {x})) =/= (/) <-> (n i^i S) =/= (/)))
9	8	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ -. x e. S) -> ((n i^i (S \ {x})) =/= (/) <-> (n i^i S) =/= (/)))
10	5, 9	sylibrd 204	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ -. x e. S) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
11	10	ex 373	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (-. x e. S -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i (S \ {x})) =/= (/))))
12	11	r19.21adv 1718	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (-. x e. S -> A.n e. ((nei` J)` {x})(n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
13	1	islp2 7747	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ x e. X) -> (x e. ((limPt` J)` S) <-> A.n e. ((nei` J)` {x})(n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
14		simpll 412	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> J e. Top)
15		simplr 413	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> S (_ X)
16	1	clsss3 7691	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) (_ X)
17	16	sseld 2067	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (x e. ((cls` J)` S) -> x e. X))
18	17	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> x e. X)
19	13, 14, 15, 18	syl3anc 858	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (x e. ((limPt` J)` S) <-> A.n e. ((nei` J)` {x})(n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
20	12, 19	sylibrd 204	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (-. x e. S -> x e. ((limPt` J)` S)))
21	20	orrd 233	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (x e. S \/ x e. ((limPt` J)` S)))
22		elun 2173	. . . . 5 |- (x e. (S u. ((limPt` J)` S)) <-> (x e. S \/ x e. ((limPt` J)` S)))
23	21, 22	sylibr 200	. . . 4 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> x e. (S u. ((limPt` J)` S)))
24	23	ex 373	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (x e. ((cls` J)` S) -> x e. (S u. ((limPt` J)` S))))
25	24	ssrdv 2070	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) (_ (S u. ((limPt` J)` S)))
26	1	sscls 7689	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S (_ ((cls` J)` S))
27	1	lpsscls 7745	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((limPt` J)` S) (_ ((cls` J)` S))
28	26, 27	jca 288	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S (_ ((cls` J)` S) /\ ((limPt` J)` S) (_ ((cls` J)` S)))
29		unss 2204	. . 3 |- ((S (_ ((cls` J)` S) /\ ((limPt` J)` S) (_ ((cls` J)` S)) <-> (S u. ((limPt` J)` S)) (_ ((cls` J)` S))
30	28, 29	sylib 198	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S u. ((limPt` J)` S)) (_ ((cls` J)` S))
31	25, 30	eqssd 2079	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) = (S u. ((limPt` J)` S)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645   \ cdif 2044   u. cun 2045   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {csn 2409  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  clsccl 7662  neicnei 7712  limPtclp 7740

This theorem is referenced by:  islpi 7749  cldlp 7750  metelcls 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-top 7592  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-nei 7713  df-lp 7741

Copyright terms: Public domain