Theorem clmnns 7084

Description: Express the predicate "F converges to A," using implicit substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
clmnns.1	|- F e. V
clmnns.2	|- (k e. NN -> (F` k) = B)

Assertion

Ref	Expression
clmnns	|- ((A e. CC /\ A.k e. NN B e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (B - A)) < x)))

Distinct variable groups:   j,k,x,A   j,F,k,x

Proof of Theorem clmnns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 6159	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		nnuz 6439	. . . . . 6 |- NN = (ZZ>` 1)
3	2	eqimss2i 2112	. . . . 5 |- (ZZ>` 1) (_ NN
4		nnssz 6151	. . . . 5 |- NN (_ ZZ
5		clmnns.1	. . . . 5 |- F e. V
6	1, 3, 4, 1, 3, 4, 5	clm4 7080	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A.k e. (NN i^i NN)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
7		ralrp 6289	. . . 4 |- (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
8	6, 7	syl6bbr 538	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (NN i^i NN)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
9		inidm 2222	. . . . 5 |- (NN i^i NN) = NN
10		raleq1 1786	. . . . 5 |- ((NN i^i NN) = NN -> (A.k e. (NN i^i NN)(F` k) e. CC <-> A.k e. NN (F` k) e. CC))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- (A.k e. (NN i^i NN)(F` k) e. CC <-> A.k e. NN (F` k) e. CC)
12		clmnns.2	. . . . . 6 |- (k e. NN -> (F` k) = B)
13	12	eleq1d 1540	. . . . 5 |- (k e. NN -> ((F` k) e. CC <-> B e. CC))
14	13	ralbiia 1673	. . . 4 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC <-> A.k e. NN B e. CC)
15	11, 14	bitr2 174	. . 3 |- (A.k e. NN B e. CC <-> A.k e. (NN i^i NN)(F` k) e. CC)
16	8, 15	sylan2b 452	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN B e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
17	12	opreq1d 3975	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> ((F` k) - A) = (B - A))
18	17	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (abs` ((F` k) - A)) = (abs` (B - A)))
19	18	breq1d 2629	. . . . . 6 |- (k e. NN -> ((abs` ((F` k) - A)) < x <-> (abs` (B - A)) < x))
20	19	imbi2d 612	. . . . 5 |- (k e. NN -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> (j <_ k -> (abs` (B - A)) < x)))
21	20	ralbiia 1673	. . . 4 |- (A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (B - A)) < x))
22	21	rexbii 1668	. . 3 |- (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (B - A)) < x))
23	22	ralbii 1667	. 2 |- (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (B - A)) < x))
24	16, 23	syl6bb 536	1 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN B e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (B - A)) < x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   i^i cin 2046   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   - cmin 5292   <_ cle 5295  NNcn 5296  RR+crp 5300   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  abscabs 6750   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  clm0nns 7085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-z 6136  df-rp 6281  df-uz 6418  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain