Theorem climuz0 7108

Description: A zero sequence converges to zero.

Hypothesis

Ref	Expression
climuz0.1	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
climuz0	|- ((ZZ>` M) X. {0}) ~~> 0

Proof of Theorem climuz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim0 7097	. 2 |- (ZZ X. {0}) ~~> 0
2		0cn 5328	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
3	2	elisseti 1818	. . . . . . . 8 |- 0 e. V
4	3	snnz 2458	. . . . . . 7 |- {0} =/= (/)
5		dmxp 3332	. . . . . . 7 |- ({0} =/= (/) -> dom ((ZZ>` M) X. {0}) = (ZZ>` M))
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- dom ((ZZ>` M) X. {0}) = (ZZ>` M)
7		reseq2 3369	. . . . . 6 |- (dom ((ZZ>` M) X. {0}) = (ZZ>` M) -> ((ZZ X. {0}) |` dom ((ZZ>` M) X. {0})) = ((ZZ X. {0}) |` (ZZ>` M)))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((ZZ X. {0}) |` dom ((ZZ>` M) X. {0})) = ((ZZ X. {0}) |` (ZZ>` M))
9	3	fconst 3658	. . . . . . 7 |- (ZZ X. {0}):ZZ-->{0}
10		ffun 3629	. . . . . . 7 |- ((ZZ X. {0}):ZZ-->{0} -> Fun (ZZ X. {0}))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- Fun (ZZ X. {0})
12		uzssz 6430	. . . . . . 7 |- (ZZ>` M) (_ ZZ
13		ssid 2080	. . . . . . 7 |- {0} (_ {0}
14		ssxp 3256	. . . . . . 7 |- (((ZZ>` M) (_ ZZ /\ {0} (_ {0}) -> ((ZZ>` M) X. {0}) (_ (ZZ X. {0}))
15	12, 13, 14	mp2an 697	. . . . . 6 |- ((ZZ>` M) X. {0}) (_ (ZZ X. {0})
16		funssres 3552	. . . . . 6 |- ((Fun (ZZ X. {0}) /\ ((ZZ>` M) X. {0}) (_ (ZZ X. {0})) -> ((ZZ X. {0}) |` dom ((ZZ>` M) X. {0})) = ((ZZ>` M) X. {0}))
17	11, 15, 16	mp2an 697	. . . . 5 |- ((ZZ X. {0}) |` dom ((ZZ>` M) X. {0})) = ((ZZ>` M) X. {0})
18	8, 17	eqtr3 1497	. . . 4 |- ((ZZ X. {0}) |` (ZZ>` M)) = ((ZZ>` M) X. {0})
19	18	breq1i 2626	. . 3 |- (((ZZ X. {0}) |` (ZZ>` M)) ~~> 0 <-> ((ZZ>` M) X. {0}) ~~> 0)
20		zex 6144	. . . . . 6 |- ZZ e. V
21		snex 2750	. . . . . 6 |- {0} e. V
22	20, 21	xpex 3260	. . . . 5 |- (ZZ X. {0}) e. V
23		climuz0.1	. . . . 5 |- M e. ZZ
24	22, 23	climres 7105	. . . 4 |- (0 e. V -> (((ZZ X. {0}) |` (ZZ>` M)) ~~> 0 <-> (ZZ X. {0}) ~~> 0))
25	3, 24	ax-mp 7	. . 3 |- (((ZZ X. {0}) |` (ZZ>` M)) ~~> 0 <-> (ZZ X. {0}) ~~> 0)
26	19, 25	bitr3 175	. 2 |- (((ZZ>` M) X. {0}) ~~> 0 <-> (ZZ X. {0}) ~~> 0)
27	1, 26	mpbir 190	1 |- ((ZZ>` M) X. {0}) ~~> 0

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  Vcvv 1811   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {csn 2409   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170   |` cres 3172  Fun wfun 3176  -->wf 3178  ` cfv 3182  CCcc 5232  0cc0 5234  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  serzclim0 7109  occllem5 9177

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain