Theorem climrel 6976

Description: The limit relation is a relation.

Assertion

Ref	Expression
climrel	|- Rel ~~>

Proof of Theorem climrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 3266	. 2 |- Rel {<.f, y>. | (y e. CC /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. CC /\ (abs` ((f` k) - y)) < x))))}
2		df-clim 6975	. . 3 |- ~~> = {<.f, y>. | (y e. CC /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. CC /\ (abs` ((f` k) - y)) < x))))}
3	2	releqi 3244	. 2 |- (Rel ~~> <-> Rel {<.f, y>. | (y e. CC /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. CC /\ (abs` ((f` k) - y)) < x))))})
4	1, 3	mpbir 190	1 |- Rel ~~>

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  {copab 2666  Rel wrel 3175  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   - cmin 5292   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  abscabs 6750   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  climcl 6978  clmi1 7086  climaddc 7132  climmulc 7133  climabslem 7148

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain