Theorem climfnn 7092

Description: Express the predicate F converges to A for an explicit function, using natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
climfnn	|- ((F:NN-->CC /\ A e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))

Distinct variable groups:   j,k,x,A   j,F,k,x

Proof of Theorem climfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 5933	. . . 4 |- NN e. V
2		fex 3652	. . . 4 |- ((F:NN-->CC /\ NN e. V) -> F e. V)
3	1, 2	mpan2 696	. . 3 |- (F:NN-->CC -> F e. V)
4	3	adantr 389	. 2 |- ((F:NN-->CC /\ A e. CC) -> F e. V)
5		feq1 3620	. . . . 5 |- (f = F -> (f:NN-->CC <-> F:NN-->CC))
6	5	anbi1d 617	. . . 4 |- (f = F -> ((f:NN-->CC /\ A e. CC) <-> (F:NN-->CC /\ A e. CC)))
7		breq1 2622	. . . . 5 |- (f = F -> (f ~~> A <-> F ~~> A))
8		fveq1 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = F -> (f` k) = (F` k))
9	8	opreq1d 3975	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> ((f` k) - A) = ((F` k) - A))
10	9	fveq2d 3728	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> (abs` ((f` k) - A)) = (abs` ((F` k) - A)))
11	10	breq1d 2629	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> ((abs` ((f` k) - A)) < x <-> (abs` ((F` k) - A)) < x))
12	11	imbi2d 612	. . . . . . . 8 |- (f = F -> ((j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x) <-> (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
13	12	rexralbidv 1682	. . . . . . 7 |- (f = F -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
14	13	imbi2d 612	. . . . . 6 |- (f = F -> ((0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x)) <-> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
15	14	ralbidv 1663	. . . . 5 |- (f = F -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
16	7, 15	bibi12d 629	. . . 4 |- (f = F -> ((f ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x))) <-> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
17	6, 16	imbi12d 626	. . 3 |- (f = F -> (((f:NN-->CC /\ A e. CC) -> (f ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x)))) <-> ((F:NN-->CC /\ A e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))))
18		1z 6159	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
19		nnuz 6439	. . . . . . . 8 |- NN = (ZZ>` 1)
20	19	eqimss2i 2112	. . . . . . 7 |- (ZZ>` 1) (_ NN
21		nnssz 6151	. . . . . . 7 |- NN (_ ZZ
22		visset 1813	. . . . . . 7 |- f e. V
23	18, 20, 21, 18, 20, 21, 22	clm4 7080	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ A.k e. (NN i^i NN)(f` k) e. CC) -> (f ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x))))
24		inss2 2231	. . . . . . 7 |- (NN i^i NN) (_ NN
25		ssralv 2114	. . . . . . 7 |- ((NN i^i NN) (_ NN -> (A.k e. NN (f` k) e. CC -> A.k e. (NN i^i NN)(f` k) e. CC))
26	24, 25	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A.k e. NN (f` k) e. CC -> A.k e. (NN i^i NN)(f` k) e. CC)
27	23, 26	sylan2 451	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (f` k) e. CC) -> (f ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x))))
28		ffvelrn 3814	. . . . . 6 |- ((f:NN-->CC /\ k e. NN) -> (f` k) e. CC)
29	28	r19.21aiva 1714	. . . . 5 |- (f:NN-->CC -> A.k e. NN (f` k) e. CC)
30	27, 29	sylan2 451	. . . 4 |- ((A e. CC /\ f:NN-->CC) -> (f ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x))))
31	30	ancoms 436	. . 3 |- ((f:NN-->CC /\ A e. CC) -> (f ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - A)) < x))))
32	17, 31	vtoclg 1847	. 2 |- (F e. V -> ((F:NN-->CC /\ A e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
33	4, 32	mpcom 49	1 |- ((F:NN-->CC /\ A e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   i^i cin 2046   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   - cmin 5292   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  abscabs 6750   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  clmfnn 7093  climsup 7155  caucvg 7163  ser1clim0 7173

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-z 6136  df-uz 6418  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain