Theorem climconst 7094

Description: An (eventually) constant sequence converges to its value.

Hypotheses

Ref	Expression
climconsti.1	|- F e. V
climconsti.2	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
climconst	|- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A) -> F ~~> A)

Distinct variable groups:   A,k   k,F   k,M

Proof of Theorem climconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` k) = A -> ((F` k) - A) = (A - A))
2		subidt 5407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A e. CC -> (A - A) = 0)
3	1, 2	sylan9eqr 1532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. CC /\ (F` k) = A) -> ((F` k) - A) = 0)
4	3	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ (F` k) = A) -> (abs` ((F` k) - A)) = (abs` 0))
5		abs0 6877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (abs` 0) = 0
6	4, 5	syl6eq 1526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ (F` k) = A) -> (abs` ((F` k) - A)) = 0)
7	6	breq1d 2634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ (F` k) = A) -> ((abs` ((F` k) - A)) < x <-> 0 < x))
8	7	biimpar 419	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. CC /\ (F` k) = A) /\ 0 < x) -> (abs` ((F` k) - A)) < x)
9	8	an1rs 491	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CC /\ 0 < x) /\ (F` k) = A) -> (abs` ((F` k) - A)) < x)
10	9	ex 373	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ 0 < x) -> ((F` k) = A -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
11	10	a1dd 42	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ 0 < x) -> ((F` k) = A -> (M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
12	11	r19.20sdv 1713	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ 0 < x) -> (A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A -> A.k e. (ZZ>` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
13	12	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ 0 < x) /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A) -> A.k e. (ZZ>` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
14	13	an1rs 491	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A) /\ 0 < x) -> A.k e. (ZZ>` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
15		climconsti.2	. . . . . . . 8 |- M e. ZZ
16		breq1 2627	. . . . . . . . . . 11 |- (j = M -> (j <_ k <-> M <_ k))
17	16	imbi1d 615	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> (M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
18	17	ralbidv 1666	. . . . . . . . 9 |- (j = M -> (A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> A.k e. (ZZ>` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
19	18	rcla4ev 1880	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
20	15, 19	mpan 697	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
21	14, 20	syl 10	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A) /\ 0 < x) -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
22	21	exp31 378	. . . . 5 |- (A e. CC -> (A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A -> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
23	22	a1dd 42	. . . 4 |- (A e. CC -> (A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
24	23	r19.21adv 1721	. . 3 |- (A e. CC -> (A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
25	24	imp 350	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
26		inss2 2234	. . . . . . . 8 |- (ZZ i^i (ZZ>` M)) (_ (ZZ>` M)
27	26	sseli 2068	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ i^i (ZZ>` M)) -> k e. (ZZ>` M))
28	27	a1i 8	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (k e. (ZZ i^i (ZZ>` M)) -> k e. (ZZ>` M)))
29		eleq1a 1546	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((F` k) = A -> (F` k) e. CC))
30	28, 29	imim12d 29	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((k e. (ZZ>` M) -> (F` k) = A) -> (k e. (ZZ i^i (ZZ>` M)) -> (F` k) e. CC)))
31	30	r19.20dv2 1714	. . . 4 |- (A e. CC -> (A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A -> A.k e. (ZZ i^i (ZZ>` M))(F` k) e. CC))
32	31	imp 350	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A) -> A.k e. (ZZ i^i (ZZ>` M))(F` k) e. CC)
33		uzssz 6431	. . . 4 |- (ZZ>` M) (_ ZZ
34		ssid 2083	. . . 4 |- ZZ (_ ZZ
35		ssid 2083	. . . 4 |- (ZZ>` M) (_ (ZZ>` M)
36		climconsti.1	. . . 4 |- F e. V
37	15, 33, 34, 15, 35, 33, 36	clm4 7080	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ i^i (ZZ>` M))(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
38	32, 37	syldan 469	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
39	25, 38	mpbird 196	1 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) = A) -> F ~~> A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   i^i cin 2049   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   - cmin 5304   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418  abscabs 6751   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  climconst2 7095  climconst3 7096  ef0lem 7310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain