Theorem climaddc1 7118

Description: Limit of a constant C added to each term of a sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
climaddc1.1	|- F e. V
climaddc1.2	|- G e. V
climaddc1.3	|- A e. V
climaddc1.4	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
climaddc1	|- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))) -> G ~~> (A + C))

Distinct variable groups:   A,k   C,k   k,F   k,G   k,M

Proof of Theorem climaddc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climaddc1.1	. . 3 |- F e. V
2		zex 6144	. . . 4 |- ZZ e. V
3		snex 2750	. . . 4 |- {C} e. V
4	2, 3	xpex 3260	. . 3 |- (ZZ X. {C}) e. V
5		climaddc1.2	. . 3 |- G e. V
6		climaddc1.3	. . 3 |- A e. V
7		climaddc1.4	. . 3 |- C e. V
8	1, 4, 5, 6, 7	climadd 7117	. 2 |- (((F ~~> A /\ (ZZ X. {C}) ~~> C) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ ((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k))))) -> G ~~> (A + C))
9		climconst2 7095	. . . 4 |- (C e. CC -> (ZZ X. {C}) ~~> C)
10	9	anim2i 335	. . 3 |- ((F ~~> A /\ C e. CC) -> (F ~~> A /\ (ZZ X. {C}) ~~> C))
11	10	adantr 389	. 2 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))) -> (F ~~> A /\ (ZZ X. {C}) ~~> C))
12		simprl 414	. . 3 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))) -> M e. ZZ)
13		simprl 414	. . . . . . . . 9 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C))) -> (F` k) e. CC)
14		fvconst2g 3844	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> ((ZZ X. {C})` k) = C)
15		pm3.26 319	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> C e. CC)
16	14, 15	eqeltrd 1548	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> ((ZZ X. {C})` k) e. CC)
17	16	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C))) -> ((ZZ X. {C})` k) e. CC)
18		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ (G` k) = ((F` k) + C)) -> (G` k) = ((F` k) + C))
19	14	opreq2d 3976	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k)) = ((F` k) + C))
20	19	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ (G` k) = ((F` k) + C)) -> ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k)) = ((F` k) + C))
21	18, 20	eqtr4d 1510	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ (G` k) = ((F` k) + C)) -> (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k)))
22	21	adantrl 394	. . . . . . . . 9 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C))) -> (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k)))
23	13, 17, 22	3jca 819	. . . . . . . 8 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C))) -> ((F` k) e. CC /\ ((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k))))
24	23	ex 373	. . . . . . 7 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> (((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)) -> ((F` k) e. CC /\ ((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k)))))
25		eluzelz 6423	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. ZZ)
26	24, 25	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((C e. CC /\ k e. (ZZ>` M)) -> (((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)) -> ((F` k) e. CC /\ ((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k)))))
27	26	r19.20dva 1709	. . . . 5 |- (C e. CC -> (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)) -> A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ ((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k)))))
28	27	imp 350	. . . 4 |- ((C e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C))) -> A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ ((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k))))
29	28	ad2ant2l 408	. . 3 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))) -> A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ ((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k))))
30	12, 29	jca 288	. 2 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))) -> (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ ((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + ((ZZ X. {C})` k)))))
31	8, 11, 30	sylanc 471	1 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = ((F` k) + C)))) -> G ~~> (A + C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  {csn 2409   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   + caddc 5237  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  climaddc2 7119  clim2serzt 7134  clim2serz 7145

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain