Theorem climaddc 7132

Description: Limit of a constant A added to a sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
climaddc.1	|- A e. CC
climaddc.2	|- B e. V
climaddc.3	|- F ~~> B
climaddc.4	|- G Fn NN
climaddc.5	|- (k e. NN -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (A + (F` k))))

Assertion

Ref	Expression
climaddc	|- G ~~> (A + B)

Distinct variable groups:   A,k   k,F   k,G   B,k

Proof of Theorem climaddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climaddc.3	. . 3 |- F ~~> B
2		climaddc.1	. . 3 |- A e. CC
3	1, 2	pm3.2i 285	. 2 |- (F ~~> B /\ A e. CC)
4		1z 6159	. . 3 |- 1 e. ZZ
5		elnnuz 6440	. . . . 5 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>` 1))
6		climaddc.5	. . . . 5 |- (k e. NN -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (A + (F` k))))
7	5, 6	sylbir 201	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` 1) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (A + (F` k))))
8	7	rgen 1698	. . 3 |- A.k e. (ZZ>` 1)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (A + (F` k)))
9	4, 8	pm3.2i 285	. 2 |- (1 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 1)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (A + (F` k))))
10		climrel 6976	. . . . 5 |- Rel ~~>
11	10	brrelexi 3208	. . . 4 |- (F ~~> B -> F e. V)
12	1, 11	ax-mp 7	. . 3 |- F e. V
13		climaddc.4	. . . 4 |- G Fn NN
14		nnex 5933	. . . 4 |- NN e. V
15		fnex 3607	. . . 4 |- ((G Fn NN /\ NN e. V) -> G e. V)
16	13, 14, 15	mp2an 697	. . 3 |- G e. V
17		climaddc.2	. . 3 |- B e. V
18	2	elisseti 1818	. . 3 |- A e. V
19	12, 16, 17, 18	climaddc2 7119	. 2 |- (((F ~~> B /\ A e. CC) /\ (1 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 1)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (A + (F` k))))) -> G ~~> (A + B))
20	3, 9, 19	mp2an 697	1 |- G ~~> (A + B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   Fn wfn 3177  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  1c1 5235   + caddc 5237  NNcn 5296  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  cvgcmp2lem 7180

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain