Theorem climabs0 7113

Description: Convergence to zero of the absolute value is equivalent to convergence to zero.

Hypotheses

Ref	Expression
climabs0.1	|- F e. V
climabs0.2	|- G e. V
climabs0.3	|- (k e. NN -> (G` k) = (abs` (F` k)))

Assertion

Ref	Expression
climabs0	|- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (F ~~> 0 <-> G ~~> 0))

Distinct variable groups:   k,F   k,G

Proof of Theorem climabs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 1690	. . . . 5 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> A.kA.k e. NN (F` k) e. CC)
2		ra4 1697	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (k e. NN -> (F` k) e. CC))
3	2	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((A.k e. NN (F` k) e. CC /\ k e. NN) -> (F` k) e. CC)
4		absidmt 6892	. . . . . . . 8 |- ((F` k) e. CC -> (abs` (abs` (F` k))) = (abs` (F` k)))
5	3, 4	syl 10	. . . . . . 7 |- ((A.k e. NN (F` k) e. CC /\ k e. NN) -> (abs` (abs` (F` k))) = (abs` (F` k)))
6	5	breq1d 2634	. . . . . 6 |- ((A.k e. NN (F` k) e. CC /\ k e. NN) -> ((abs` (abs` (F` k))) < x <-> (abs` (F` k)) < x))
7	6	imbi2d 614	. . . . 5 |- ((A.k e. NN (F` k) e. CC /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> (abs` (abs` (F` k))) < x) <-> (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x)))
8	1, 7	ralbida 1660	. . . 4 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (abs` (F` k))) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x)))
9	8	rexbidv 1667	. . 3 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (abs` (F` k))) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x)))
10	9	ralbidv 1666	. 2 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (abs` (F` k))) < x) <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x)))
11		absclt 6833	. . . . 5 |- ((F` k) e. CC -> (abs` (F` k)) e. RR)
12	11	recnd 5327	. . . 4 |- ((F` k) e. CC -> (abs` (F` k)) e. CC)
13	12	r19.20si 1709	. . 3 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> A.k e. NN (abs` (F` k)) e. CC)
14		climabs0.2	. . . 4 |- G e. V
15		climabs0.3	. . . 4 |- (k e. NN -> (G` k) = (abs` (F` k)))
16	14, 15	clm0nns 7085	. . 3 |- (A.k e. NN (abs` (F` k)) e. CC -> (G ~~> 0 <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (abs` (F` k))) < x)))
17	13, 16	syl 10	. 2 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (G ~~> 0 <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (abs` (F` k))) < x)))
18		climabs0.1	. . 3 |- F e. V
19		eqidd 1479	. . 3 |- (k e. NN -> (F` k) = (F` k))
20	18, 19	clm0nns 7085	. 2 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x)))
21	10, 17, 20	3bitr4rd 553	1 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (F ~~> 0 <-> G ~~> 0))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  CCcc 5244  0cc0 5246   <_ cle 5307  NNcn 5308  RR+crp 5312   < clt 5498  abscabs 6751   ~~> cli 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain