Theorem cjadd 6723

Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
cjcj.1	|- A e. CC
readd.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
cjadd	|- (*` (A + B)) = ((*` A) + (*` B))

Proof of Theorem cjadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj.1	. . . . 5 |- A e. CC
2		readd.2	. . . . 5 |- B e. CC
3	1, 2	readd 6719	. . . 4 |- (Re` (A + B)) = ((Re` A) + (Re` B))
4	1, 2	imadd 6720	. . . . . 6 |- (Im` (A + B)) = ((Im` A) + (Im` B))
5	4	opreq2i 3957	. . . . 5 |- (i x. (Im` (A + B))) = (i x. ((Im` A) + (Im` B)))
6		axicn 5242	. . . . . 6 |- i e. CC
7	1	imcl 6698	. . . . . . 7 |- (Im` A) e. RR
8	7	recn 5286	. . . . . 6 |- (Im` A) e. CC
9	2	imcl 6698	. . . . . . 7 |- (Im` B) e. RR
10	9	recn 5286	. . . . . 6 |- (Im` B) e. CC
11	6, 8, 10	adddi 5298	. . . . 5 |- (i x. ((Im` A) + (Im` B))) = ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` B)))
12	5, 11	eqtr 1487	. . . 4 |- (i x. (Im` (A + B))) = ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` B)))
13	3, 12	opreq12i 3958	. . 3 |- ((Re` (A + B)) - (i x. (Im` (A + B)))) = (((Re` A) + (Re` B)) - ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` B))))
14	1	recl 6697	. . . . 5 |- (Re` A) e. RR
15	14	recn 5286	. . . 4 |- (Re` A) e. CC
16	2	recl 6697	. . . . 5 |- (Re` B) e. RR
17	16	recn 5286	. . . 4 |- (Re` B) e. CC
18	6, 8	mulcl 5293	. . . 4 |- (i x. (Im` A)) e. CC
19	6, 10	mulcl 5293	. . . 4 |- (i x. (Im` B)) e. CC
20	15, 17, 18, 19	addsub4 5446	. . 3 |- (((Re` A) + (Re` B)) - ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` B)))) = (((Re` A) - (i x. (Im` A))) + ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
21	13, 20	eqtr 1487	. 2 |- ((Re` (A + B)) - (i x. (Im` (A + B)))) = (((Re` A) - (i x. (Im` A))) + ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
22	1, 2	addcl 5292	. . 3 |- (A + B) e. CC
23		cjvalt 6695	. . 3 |- ((A + B) e. CC -> (*` (A + B)) = ((Re` (A + B)) - (i x. (Im` (A + B)))))
24	22, 23	ax-mp 7	. 2 |- (*` (A + B)) = ((Re` (A + B)) - (i x. (Im` (A + B))))
25		cjvalt 6695	. . . 4 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
26	1, 25	ax-mp 7	. . 3 |- (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A)))
27		cjvalt 6695	. . . 4 |- (B e. CC -> (*` B) = ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
28	2, 27	ax-mp 7	. . 3 |- (*` B) = ((Re` B) - (i x. (Im` B)))
29	26, 28	opreq12i 3958	. 2 |- ((*` A) + (*` B)) = (((Re` A) - (i x. (Im` A))) + ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
30	21, 24, 29	3eqtr4 1497	1 |- (*` (A + B)) = ((*` A) + (*` B))

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  Recre 6678  Imcim 6679  *ccj 6680

This theorem is referenced by:  cjaddt 6747  normlem2 8898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684

Copyright terms: Public domain