Theorem circgrp 8679

Description: The circle group T is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
circgrp.1	|- C = {w e. CC | (abs` w) = 1}
circgrp.2	|- T = ( x. |` (C X. C))

Assertion

Ref	Expression
circgrp	|- T e. Abel

Proof of Theorem circgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3715	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (abs` w) = (abs` z))
2	1	eqeq1d 1480	. . . . . . . 8 |- (w = z -> ((abs` w) = 1 <-> (abs` z) = 1))
3		circgrp.1	. . . . . . . 8 |- C = {w e. CC | (abs` w) = 1}
4	2, 3	elrab2 1903	. . . . . . 7 |- (z e. C <-> (z e. CC /\ (abs` z) = 1))
5		efifolem7 8662	. . . . . . 7 |- ((z e. CC /\ (abs` z) = 1) -> E.x e. (0[,)(2 x. pi))z = (exp` (i x. x)))
6	4, 5	sylbi 199	. . . . . 6 |- (z e. C -> E.x e. (0[,)(2 x. pi))z = (exp` (i x. x)))
7		0re 5420	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
8		2re 5934	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
9		pire 8615	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
10	8, 9	remulcl 5315	. . . . . . . . . . 11 |- (2 x. pi) e. RR
11		elico2t 6331	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (x e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < (2 x. pi))))
12	7, 10, 11	mp2an 696	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < (2 x. pi)))
13	12	biimp 151	. . . . . . . . 9 |- (x e. (0[,)(2 x. pi)) -> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < (2 x. pi)))
14	13	3simp1d 793	. . . . . . . 8 |- (x e. (0[,)(2 x. pi)) -> x e. RR)
15	14	anim1i 334	. . . . . . 7 |- ((x e. (0[,)(2 x. pi)) /\ z = (exp` (i x. x))) -> (x e. RR /\ z = (exp` (i x. x))))
16	15	r19.22i2 1730	. . . . . 6 |- (E.x e. (0[,)(2 x. pi))z = (exp` (i x. x)) -> E.x e. RR z = (exp` (i x. x)))
17	6, 16	syl 10	. . . . 5 |- (z e. C -> E.x e. RR z = (exp` (i x. x)))
18		visset 1809	. . . . . 6 |- z e. V
19		eqeq1 1478	. . . . . . 7 |- (y = z -> (y = (exp` (i x. x)) <-> z = (exp` (i x. x))))
20	19	rexbidv 1661	. . . . . 6 |- (y = z -> (E.x e. RR y = (exp` (i x. x)) <-> E.x e. RR z = (exp` (i x. x))))
21	18, 20	elab 1893	. . . . 5 |- (z e. {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))} <-> E.x e. RR z = (exp` (i x. x)))
22	17, 21	sylibr 200	. . . 4 |- (z e. C -> z e. {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))})
23		eleq1 1531	. . . . . . 7 |- (z = (exp` (i x. x)) -> (z e. C <-> (exp` (i x. x)) e. C))
24	3	efielcirc 8678	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (exp` (i x. x)) e. C)
25	23, 24	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (z = (exp` (i x. x)) -> z e. C))
26	25	r19.23aiv 1740	. . . . 5 |- (E.x e. RR z = (exp` (i x. x)) -> z e. C)
27	21, 26	sylbi 199	. . . 4 |- (z e. {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))} -> z e. C)
28	22, 27	impbi 157	. . 3 |- (z e. C <-> z e. {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))})
29	28	eqriv 1472	. 2 |- C = {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))}
30		circgrp.2	. 2 |- T = ( x. |` (C X. C))
31		axicn 5250	. 2 |- i e. CC
32		axresscn 5248	. 2 |- RR (_ CC
33		readdsubg 8081	. 2 |- ( + |` (RR X. RR)) e. (SubGrp` + )
34	29, 30, 31, 32, 33	efghgrpi 8654	1 |- T e. Abel

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  E.wrex 1643  {crab 1645   class class class wbr 2614   X. cxp 3163   |` cres 3167  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215  ici 5216   x. cmul 5219   <_ cle 5275   < clt 5466  2c2 5916  [,)cico 6304  abscabs 6689  expce 7243  picpi 7247  Abelcabl 8050

This theorem is referenced by:  shftefif1olem 8680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-5 5928  df-6 5929  df-7 5930  df-8 5931  df-9 5932  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-rp 6227  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-ioc 6307  df-ico 6308  df-icc 6309  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-bc 6902  df-clim 6921  df-sum 6926  df-cncf 7206  df-ef 7248  df-sin 7250  df-cos 7251  df-pi 7252  df-top 7542  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-subg 8067

Copyright terms: Public domain