Theorem chocval 9171

Description: Value of the orthogonal complement of a Hilbert lattice element. The orthogonal complement of A is the set of vectors that are orthogonal to all vectors in A.

Hypothesis

Ref	Expression
chocval.1	|- A e. CH

Assertion

Ref	Expression
chocval	|- (_|_` A) = {x e. H~ | A.y e. A (x .ih y) = 0}

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem chocval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chocval.1	. . 3 |- A e. CH
2	1	chssi 9101	. 2 |- A (_ H~
3		ocvalt 9153	. 2 |- (A (_ H~ -> (_|_` A) = {x e. H~ | A.y e. A (x .ih y) = 0})
4	2, 3	ax-mp 7	1 |- (_|_` A) = {x e. H~ | A.y e. A (x .ih y) = 0}

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {crab 1648   (_ wss 2047  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  0cc0 5234  H~chil 8788   .ih csp 8793  CHcch 8798  _|_cort 8799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-sh 9076  df-ch 9092  df-oc 9124

Copyright terms: Public domain