Theorem choc1 9298

Description: The orthocomplement of the unit subspace is the zero subspace. Does not require Axiom of Choice.

Assertion

Ref	Expression
choc1	|- (_|_` H~) = 0H

Proof of Theorem choc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helsh 9124	. . . . . . 7 |- H~ e. SH
2		shocelt 9162	. . . . . . 7 |- (H~ e. SH -> (x e. (_|_` H~) <-> (x e. H~ /\ A.y e. H~ (x .ih y) = 0)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (x e. (_|_` H~) <-> (x e. H~ /\ A.y e. H~ (x .ih y) = 0))
4	3	pm3.27bi 326	. . . . 5 |- (x e. (_|_` H~) -> A.y e. H~ (x .ih y) = 0)
5		shocss 9166	. . . . . . . 8 |- (H~ e. SH -> (_|_` H~) (_ H~)
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (_|_` H~) (_ H~
7	6	sseli 2074	. . . . . 6 |- (x e. (_|_` H~) -> x e. H~)
8		hial0 8975	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (A.y e. H~ (x .ih y) = 0 <-> x = 0h))
9	7, 8	syl 10	. . . . 5 |- (x e. (_|_` H~) -> (A.y e. H~ (x .ih y) = 0 <-> x = 0h))
10	4, 9	mpbid 195	. . . 4 |- (x e. (_|_` H~) -> x = 0h)
11		elch0 9133	. . . 4 |- (x e. 0H <-> x = 0h)
12	10, 11	sylibr 200	. . 3 |- (x e. (_|_` H~) -> x e. 0H)
13	12	ssriv 2078	. 2 |- (_|_` H~) (_ 0H
14		h0elsh 9135	. . . 4 |- 0H e. SH
15		shococss 9174	. . . 4 |- (0H e. SH -> 0H (_ (_|_` (_|_` 0H)))
16	14, 15	ax-mp 7	. . 3 |- 0H (_ (_|_` (_|_` 0H))
17		choc0 9297	. . . 4 |- (_|_` 0H) = H~
18	17	fveq2i 3741	. . 3 |- (_|_` (_|_` 0H)) = (_|_` H~)
19	16, 18	sseqtr 2102	. 2 |- 0H (_ (_|_` H~)
20	13, 19	eqssi 2087	1 |- (_|_` H~) = 0H

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 960   e. wcel 962  A.wral 1652   (_ wss 2056  ` cfv 3196  (class class class)co 3977  0cc0 5247  H~chil 8795  0hc0v 8798   .ih csp 8800  SHcsh 8804  _|_cort 8806  0Hc0h 8811

This theorem is referenced by:  ho0valt 9683  st0 10184

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637  ax-hilex 8876  ax-hfvadd 8877  ax-hvcom 8878  ax-hvass 8879  ax-hv0cl 8880  ax-hvaddid 8881  ax-hfvmul 8882  ax-hvmulid 8883  ax-hvmulass 8884  ax-hvdistr1 8885  ax-hvdistr2 8886  ax-hvmul0 8887  ax-hfi 8953  ax-his1 8956  ax-his2 8957  ax-his3 8958  ax-his4 8959

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-3 5977  df-4 5978  df-n0 6106  df-z 6142  df-seq1 6491  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-hnorm 8844  df-hvsub 8847  df-hlim 8848  df-sh 9083  df-ch 9099  df-oc 9131  df-ch0 9132

Copyright terms: Public domain