Theorem chincl 9321

Description: Closure of Hilbert lattice intersection.

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	|- A e. CH
chjcl.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
chincl	|- (A i^i B) e. CH

Proof of Theorem chincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 |- A e. CH
2	1	elisseti 1814	. . 3 |- A e. V
3		chjcl.2	. . . 4 |- B e. CH
4	3	elisseti 1814	. . 3 |- B e. V
5	2, 4	intpr 2558	. 2 |- |^|{A, B} = (A i^i B)
6	1, 3	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (A e. CH /\ B e. CH)
7	2, 4	prss 2467	. . . . 5 |- ((A e. CH /\ B e. CH) <-> {A, B} (_ CH)
8	6, 7	mpbi 189	. . . 4 |- {A, B} (_ CH
9	2	prnz 2455	. . . 4 |- {A, B} =/= (/)
10	8, 9	pm3.2i 285	. . 3 |- ({A, B} (_ CH /\ {A, B} =/= (/))
11	10	chintcl 9233	. 2 |- |^|{A, B} e. CH
12	5, 11	eqeltrr 1542	1 |- (A i^i B) e. CH

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 956   =/= wne 1582   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  {cpr 2406  |^|cint 2528  CHcch 8737

This theorem is referenced by:  chdmm1 9338  chdmj1 9342  chinclt 9360  ledi 9397  lejdi 9399  lejdir 9400  pjoml2 9468  pjoml3 9469  pjoml4 9470  pjoml6 9472  cmcmlem 9474  cmcm2 9476  cmbr2 9479  cmbr3 9483  cmm1 9489  fh3 9506  fh4 9507  qlaxr3 9517  osumcor 9527  osumcor2 9530  spansnm0 9535  5oa 9546  3oalem5 9551  3oalem6 9552  3oa 9553  pjssm 9566  pjssge0 9567  pjcj 9569  pjocin 9583  pjssdif2 10040  pjssdif1 10041  pjin1 10058  pjin3 10060  pjclem1 10061  pjclem4 10065  pjc 10066  pjcmmul1 10067  pjcmmul2 10068  pj3s 10073  pj3cor1 10075  stji1 10107  stm1 10108  stm1add3 10112  jp 10135  golem1 10136  golem2 10137  goeq 10138  stcltrlem2 10142  mdslle1 10181  mdslj1 10183  mdslj2 10184  mdsl1 10185  mdsl2 10186  mdsl2b 10187  cvmd 10188  mdslmd1lem1 10189  mdslmd1lem2 10190  mdslmd1 10193  mdsldmd1 10195  mdslmd3 10196  mdslmd4 10197  csmdsym 10198  mdexch 10199  hatomistic 10226  chrelat2 10229  cvexchlem 10232  cvexch 10233  sumdmdlem2 10282  mdcompl 10290  dmdcompl 10291  mddmdin0 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hv0cl 8812

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336  df-neg 5338  df-n 5881  df-sh 9015  df-ch 9031

Copyright terms: Public domain