Theorem ch2 9109

Description: A Hilbert subspace is closed iff it is complete. Remark 3.12(C) of [Beran] p. 107.

Assertion

Ref	Expression
ch2	|- (H e. CH <-> (H e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->H -> E.x e. H f ~~>v x)))

Distinct variable group:   x,f,H

Proof of Theorem ch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1820	. 2 |- (H e. CH -> H e. V)
2		elisset 1820	. . 3 |- (H e. SH -> H e. V)
3	2	adantr 391	. 2 |- ((H e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->H -> E.x e. H f ~~>v x)) -> H e. V)
4		eleq1 1537	. . . 4 |- (h = H -> (h e. SH <-> H e. SH))
5		feq3 3628	. . . . . 6 |- (h = H -> (f:NN-->h <-> f:NN-->H))
6		rexeq1 1790	. . . . . 6 |- (h = H -> (E.x e. h f ~~>v x <-> E.x e. H f ~~>v x))
7	5, 6	imbi12d 628	. . . . 5 |- (h = H -> ((f:NN-->h -> E.x e. h f ~~>v x) <-> (f:NN-->H -> E.x e. H f ~~>v x)))
8	7	ralbidv 1666	. . . 4 |- (h = H -> (A.f e. Cauchy (f:NN-->h -> E.x e. h f ~~>v x) <-> A.f e. Cauchy (f:NN-->H -> E.x e. H f ~~>v x)))
9	4, 8	anbi12d 630	. . 3 |- (h = H -> ((h e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->h -> E.x e. h f ~~>v x)) <-> (H e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->H -> E.x e. H f ~~>v x))))
10		eleq1 1537	. . . . . 6 |- (h = g -> (h e. SH <-> g e. SH))
11		feq3 3628	. . . . . . . 8 |- (h = g -> (f:NN-->h <-> f:NN-->g))
12		rexeq1 1790	. . . . . . . 8 |- (h = g -> (E.x e. h f ~~>v x <-> E.x e. g f ~~>v x))
13	11, 12	imbi12d 628	. . . . . . 7 |- (h = g -> ((f:NN-->h -> E.x e. h f ~~>v x) <-> (f:NN-->g -> E.x e. g f ~~>v x)))
14	13	ralbidv 1666	. . . . . 6 |- (h = g -> (A.f e. Cauchy (f:NN-->h -> E.x e. h f ~~>v x) <-> A.f e. Cauchy (f:NN-->g -> E.x e. g f ~~>v x)))
15	10, 14	anbi12d 630	. . . . 5 |- (h = g -> ((h e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->h -> E.x e. h f ~~>v x)) <-> (g e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->g -> E.x e. g f ~~>v x))))
16	15	cbvabv 1912	. . . 4 |- {h | (h e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->h -> E.x e. h f ~~>v x))} = {g | (g e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->g -> E.x e. g f ~~>v x))}
17	16	chcmh 9108	. . 3 |- CH = {h | (h e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->h -> E.x e. h f ~~>v x))}
18	9, 17	elab2g 1903	. 2 |- (H e. V -> (H e. CH <-> (H e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->H -> E.x e. H f ~~>v x))))
19	1, 3, 18	pm5.21nii 681	1 |- (H e. CH <-> (H e. SH /\ A.f e. Cauchy (f:NN-->H -> E.x e. H f ~~>v x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  -->wf 3184  NNcn 5308  Cauchyccau 8790   ~~>v chli 8791  SHcsh 8792  CHcch 8793

This theorem is referenced by:  chcompl 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-ch 9087

Copyright terms: Public domain