Theorem cdj3lem3 10321

Description: Lemma for cdj3 10324. Value of the second-component function T.

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	|- A e. SH
cdj3lem2.2	|- B e. SH
cdj3lem3.3	|- T = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3	|- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w

Proof of Theorem cdj3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvcom 8826	. . . . . . 7 |- ((D e. H~ /\ C e. H~) -> (D +h C) = (C +h D))
2		cdj3lem2.2	. . . . . . . 8 |- B e. SH
3	2	shel 9037	. . . . . . 7 |- (D e. B -> D e. H~)
4		cdj3lem2.1	. . . . . . . 8 |- A e. SH
5	4	shel 9037	. . . . . . 7 |- (C e. A -> C e. H~)
6	1, 3, 5	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((D e. B /\ C e. A) -> (D +h C) = (C +h D))
7	6	fveq2d 3723	. . . . 5 |- ((D e. B /\ C e. A) -> (T` (D +h C)) = (T` (C +h D)))
8	7	3adant3 798	. . . 4 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (B i^i A) = 0H) -> (T` (D +h C)) = (T` (C +h D)))
9		cdj3lem3.3	. . . . . 6 |- T = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}
10	2, 4	shscom 9287	. . . . . . . . 9 |- (B +H A) = (A +H B)
11	10	eleq2i 1536	. . . . . . . 8 |- (x e. (B +H A) <-> x e. (A +H B))
12		ax-hvcom 8826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. H~ /\ z e. H~) -> (w +h z) = (z +h w))
13	2	shel 9037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. B -> w e. H~)
14	4	shel 9037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. A -> z e. H~)
15	12, 13, 14	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. B /\ z e. A) -> (w +h z) = (z +h w))
16	15	eqeq2d 1484	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. B /\ z e. A) -> (x = (w +h z) <-> x = (z +h w)))
17	16	rexbidva 1658	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. B -> (E.z e. A x = (w +h z) <-> E.z e. A x = (z +h w)))
18	17	rabbii 1802	. . . . . . . . . 10 |- {w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} = {w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}
19	18	unieqi 2507	. . . . . . . . 9 |- U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}
20	19	eqeq2i 1483	. . . . . . . 8 |- (y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} <-> y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})
21	11, 20	anbi12i 482	. . . . . . 7 |- ((x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)}) <-> (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}))
22	21	opabbii 2667	. . . . . 6 |- {<.x, y>. | (x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)})} = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}
23	9, 22	eqtr4 1496	. . . . 5 |- T = {<.x, y>. | (x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)})}
24	2, 4, 23	cdj3lem2 10318	. . . 4 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (B i^i A) = 0H) -> (T` (D +h C)) = D)
25	8, 24	eqtr3d 1507	. . 3 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (B i^i A) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)
26		incom 2205	. . . 4 |- (A i^i B) = (B i^i A)
27	26	eqeq1i 1480	. . 3 |- ((A i^i B) = 0H <-> (B i^i A) = 0H)
28	25, 27	syl3an3b 863	. 2 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (A i^i B) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)
29	28	3com12 836	1 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  E.wrex 1644  {crab 1646   i^i cin 2043  U.cuni 2499  {copab 2662  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  H~chil 8743   +h cva 8744  SHcsh 8752   +H cph 8755  0Hc0h 8759

This theorem is referenced by:  cdj3lem3a 10322  cdj3 10324

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-hvsub 8795  df-sh 9031  df-ch0 9080  df-shsum 9228

Copyright terms: Public domain