Theorem cdj3lem2 10362

Description: Lemma for cdj3 10368. Value of the first-component function S.

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	|- A e. SH
cdj3lem2.2	|- B e. SH
cdj3lem2.3	|- S = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{z e. A | E.w e. B x = (z +h w)})}

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2	|- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (S` (C +h D)) = C)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w

Proof of Theorem cdj3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . . 5 |- A e. SH
2		cdj3lem2.2	. . . . 5 |- B e. SH
3	1, 2	shsva 9333	. . . 4 |- ((C e. A /\ D e. B) -> (C +h D) e. (A +H B))
4		eqeq1 1481	. . . . . . . 8 |- (x = (C +h D) -> (x = (z +h w) <-> (C +h D) = (z +h w)))
5	4	rexbidv 1664	. . . . . . 7 |- (x = (C +h D) -> (E.w e. B x = (z +h w) <-> E.w e. B (C +h D) = (z +h w)))
6	5	rabbisdv 1807	. . . . . 6 |- (x = (C +h D) -> {z e. A | E.w e. B x = (z +h w)} = {z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
7	6	unieqd 2512	. . . . 5 |- (x = (C +h D) -> U.{z e. A | E.w e. B x = (z +h w)} = U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
8		cdj3lem2.3	. . . . 5 |- S = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{z e. A | E.w e. B x = (z +h w)})}
9	1	elisseti 1818	. . . . . . 7 |- A e. V
10	9	rabex 2725	. . . . . 6 |- {z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} e. V
11	10	uniex 2870	. . . . 5 |- U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} e. V
12	7, 8, 11	fvopab4 3780	. . . 4 |- ((C +h D) e. (A +H B) -> (S` (C +h D)) = U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
13	3, 12	syl 10	. . 3 |- ((C e. A /\ D e. B) -> (S` (C +h D)) = U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
14	13	3adant3 799	. 2 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (S` (C +h D)) = U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
15		eqid 1475	. . . . 5 |- (C +h D) = (C +h D)
16		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (w = D -> (C +h w) = (C +h D))
17	16	eqeq2d 1486	. . . . . 6 |- (w = D -> ((C +h D) = (C +h w) <-> (C +h D) = (C +h D)))
18	17	rcla4ev 1877	. . . . 5 |- ((D e. B /\ (C +h D) = (C +h D)) -> E.w e. B (C +h D) = (C +h w))
19	15, 18	mpan2 696	. . . 4 |- (D e. B -> E.w e. B (C +h D) = (C +h w))
20	19	3ad2ant2 801	. . 3 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> E.w e. B (C +h D) = (C +h w))
21		opreq1 3968	. . . . . . 7 |- (z = C -> (z +h w) = (C +h w))
22	21	eqeq2d 1486	. . . . . 6 |- (z = C -> ((C +h D) = (z +h w) <-> (C +h D) = (C +h w)))
23	22	rexbidv 1664	. . . . 5 |- (z = C -> (E.w e. B (C +h D) = (z +h w) <-> E.w e. B (C +h D) = (C +h w)))
24	23	reuuni2 2884	. . . 4 |- ((C e. A /\ E!z e. A E.w e. B (C +h D) = (z +h w)) -> (E.w e. B (C +h D) = (C +h w) <-> U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} = C))
25		3simp1 788	. . . 4 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> C e. A)
26	1, 2	cdjreu 10359	. . . . . 6 |- (((C +h D) e. (A +H B) /\ (A i^i B) = 0H) -> E!z e. A E.w e. B (C +h D) = (z +h w))
27	26, 3	sylan 448	. . . . 5 |- (((C e. A /\ D e. B) /\ (A i^i B) = 0H) -> E!z e. A E.w e. B (C +h D) = (z +h w))
28	27	3impa 828	. . . 4 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> E!z e. A E.w e. B (C +h D) = (z +h w))
29	24, 25, 28	sylanc 471	. . 3 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (E.w e. B (C +h D) = (C +h w) <-> U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} = C))
30	20, 29	mpbid 195	. 2 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} = C)
31	14, 30	eqtrd 1507	1 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (S` (C +h D)) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  E!wreu 1647  {crab 1648   i^i cin 2046  U.cuni 2503  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963   +h cva 8789  SHcsh 8797   +H cph 8800  0Hc0h 8804

This theorem is referenced by:  cdj3lem2a 10363  cdj3lem2b 10364  cdj3lem3 10365  cdj3 10368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-hvsub 8840  df-sh 9076  df-ch0 9125  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain