Theorem cdaun 4902

Description: Cardinal addition is equinumerous to union for disjoint sets.

Hypotheses

Ref	Expression
cdaval.1	|- A e. V
cdaval.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
cdaun	|- ((A i^i B) = (/) -> (A +c B) ~~ (A u. B))

Proof of Theorem cdaun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xp01disj 4133	. . 3 |- ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/)
2		cdaval.1	. . . . 5 |- A e. V
3		0ex 2706	. . . . 5 |- (/) e. V
4	2, 3	xpsnen 4421	. . . 4 |- (A X. {(/)}) ~~ A
5		cdaval.2	. . . . 5 |- B e. V
6		1on 4128	. . . . . 6 |- 1o e. On
7	6	elisseti 1814	. . . . 5 |- 1o e. V
8	5, 7	xpsnen 4421	. . . 4 |- (B X. {1o}) ~~ B
9		unen 4420	. . . 4 |- ((((A X. {(/)}) ~~ A /\ (B X. {1o}) ~~ B) /\ (((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/) /\ (A i^i B) = (/))) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~~ (A u. B))
10	4, 8, 9	mpanl12 707	. . 3 |- ((((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/) /\ (A i^i B) = (/)) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~~ (A u. B))
11	1, 10	mpan 694	. 2 |- ((A i^i B) = (/) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~~ (A u. B))
12	2, 5	cdaval 4900	. 2 |- (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o}))
13	11, 12	syl5eqbr 2643	1 |- ((A i^i B) = (/) -> (A +c B) ~~ (A u. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   u. cun 2041   i^i cin 2042  (/)c0 2276  {csn 2405   class class class wbr 2614  Oncon0 2943   X. cxp 3163  (class class class)co 3954  1oc1o 4118   ~~ cen 4354   +c ccda 4897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-en 4357  df-cda 4898

Copyright terms: Public domain