Theorem cdainf 4920

Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
cdainf.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
cdainf	|- (om ~<_ A <-> om ~<_ (A +c A))

Proof of Theorem cdainf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdainf.1	. . . 4 |- A e. V
2	1, 1	cdadom3 4918	. . 3 |- A ~<_ (A +c A)
3		domtr 4405	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ (A +c A)) -> om ~<_ (A +c A))
4	2, 3	mpan2 695	. 2 |- (om ~<_ A -> om ~<_ (A +c A))
5		cdafi 4919	. . . . 5 |- ((A ~< om /\ A ~< om) -> (A +c A) ~< om)
6	5	anidms 434	. . . 4 |- (A ~< om -> (A +c A) ~< om)
7	6	con3i 98	. . 3 |- (-. (A +c A) ~< om -> -. A ~< om)
8		omex 4610	. . . 4 |- om e. V
9		oprex 3978	. . . 4 |- (A +c A) e. V
10		domtri 4821	. . . 4 |- ((om e. V /\ (A +c A) e. V) -> (om ~<_ (A +c A) <-> -. (A +c A) ~< om))
11	8, 9, 10	mp2an 696	. . 3 |- (om ~<_ (A +c A) <-> -. (A +c A) ~< om)
12		domtri 4821	. . . 4 |- ((om e. V /\ A e. V) -> (om ~<_ A <-> -. A ~< om))
13	8, 1, 12	mp2an 696	. . 3 |- (om ~<_ A <-> -. A ~< om)
14	7, 11, 13	3imtr4 219	. 2 |- (om ~<_ (A +c A) -> om ~<_ A)
15	4, 14	impbi 157	1 |- (om ~<_ A <-> om ~<_ (A +c A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   e. wcel 957  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  omcom 3127  (class class class)co 3958   ~<_ cdom 4358   ~< csdm 4359   +c ccda 4900

This theorem is referenced by:  infdif 7528

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-ac 4727

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-er 4254  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-card 4799  df-cda 4901

Copyright terms: Public domain