Theorem cda0en 4925

Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143.

Hypothesis

Ref	Expression
cda0en.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
cda0en	|- (A +c (/)) ~~ A

Proof of Theorem cda0en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cda0en.1	. . . 4 |- A e. V
2		0ex 2711	. . . 4 |- (/) e. V
3	1, 2	cdaval 4920	. . 3 |- (A +c (/)) = ((A X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
4		xp0r 3239	. . . 4 |- ((/) X. {1o}) = (/)
5	4	uneq2i 2181	. . 3 |- ((A X. {(/)}) u. ((/) X. {1o})) = ((A X. {(/)}) u. (/))
6		un0 2297	. . 3 |- ((A X. {(/)}) u. (/)) = (A X. {(/)})
7	3, 5, 6	3eqtr 1499	. 2 |- (A +c (/)) = (A X. {(/)})
8	1, 2	xpsnen 4435	. 2 |- (A X. {(/)}) ~~ A
9	7, 8	eqbrtr 2634	1 |- (A +c (/)) ~~ A

Syntax hints:   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045  (/)c0 2280  {csn 2409   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  (class class class)co 3963  1oc1o 4128   ~~ cen 4364   +c ccda 4917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-en 4368  df-cda 4918

Copyright terms: Public domain