Theorem causs 7955

Description: Cauchy sequence on a metric subspace.

Assertion

Ref	Expression
causs	|- ((D e. Met /\ F:NN-->Y) -> (F e. (Cau` D) <-> F e. (Cau` (D |` (Y X. Y)))))

Proof of Theorem causs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . 4 |- dom dom D = dom dom D
2	1	caufss 7950	. . 3 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D)) -> F (_ (CC X. dom dom D))
3	2	adantlr 393	. 2 |- (((D e. Met /\ F:NN-->Y) /\ F e. (Cau` D)) -> F (_ (CC X. dom dom D))
4		eqid 1475	. . . 4 |- dom dom ( D |` (Y X. Y)) = dom dom ( D |` (Y X. Y))
5	4	caufss 7950	. . 3 |- (((D |` (Y X. Y)) e. Met /\ F e. (Cau` (D |` (Y X. Y)))) -> F (_ (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))))
6	5	adantlr 393	. 2 |- ((((D |` (Y X. Y)) e. Met /\ F:NN-->Y) /\ F e. (Cau` (D |` (Y X. Y)))) -> F (_ (CC X. dom dom ( D |` (Y X. Y))))
7		oprvalres 4033	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` j) e. Y /\ (F` k) e. Y) -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) = ((F` j)D(F` k)))
8		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F:NN-->Y /\ j e. NN) -> (F` j) e. Y)
9		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F:NN-->Y /\ k e. NN) -> (F` k) e. Y)
10	7, 8, 9	syl2an 454	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F:NN-->Y /\ j e. NN) /\ (F:NN-->Y /\ k e. NN)) -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) = ((F` j)D(F` k)))
11	10	anandis 512	. . . . . . . . . . 11 |- ((F:NN-->Y /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) = ((F` j)D(F` k)))
12	11	anassrs 441	. . . . . . . . . 10 |- (((F:NN-->Y /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) = ((F` j)D(F` k)))
13	12	breq1d 2629	. . . . . . . . 9 |- (((F:NN-->Y /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x <-> ((F` j)D(F` k)) < x))
14	13	imbi2d 612	. . . . . . . 8 |- (((F:NN-->Y /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x)))
15	14	ralbidva 1659	. . . . . . 7 |- ((F:NN-->Y /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x)))
16	15	rexbidva 1660	. . . . . 6 |- (F:NN-->Y -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x)))
17	16	imbi2d 612	. . . . 5 |- (F:NN-->Y -> ((0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x)) <-> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))
18	17	ralbidv 1663	. . . 4 |- (F:NN-->Y -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))
19	18	ad2antrl 406	. . 3 |- ((D e. Met /\ (F:NN-->Y /\ F:NN-->dom dom ( D |` (Y X. Y)))) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))
20		1z 6159	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
21		nnuz 6439	. . . . . 6 |- NN = (ZZ>` 1)
22	4, 20, 21	iscauf 7939	. . . . 5 |- (((D |` (Y X. Y)) e. Met /\ F:NN-->dom dom ( D |` (Y X. Y))) -> (F e. (Cau` (D |` (Y X. Y))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x))))
23		metres 7823	. . . . 5 |- (D e. Met -> (D |` (Y X. Y)) e. Met)
24	22, 23	sylan 448	. . . 4 |- ((D e. Met /\ F:NN-->dom dom ( D |` (Y X. Y))) -> (F e. (Cau` (D |` (Y X. Y))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x))))
25	24	adantrl 394	. . 3 |- ((D e. Met /\ (F:NN-->Y /\ F:NN-->dom dom ( D |` (Y X. Y)))) -> (F e. (Cau` (D |` (Y X. Y))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)(D |` (Y X. Y))(F` k)) < x))))
26	1, 20, 21	iscauf 7939	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ F:NN-->dom dom D) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))
27		resss 3383	. . . . . . . 8 |- (D |` (Y X. Y)) (_ D
28		dmss 3310	. . . . . . . 8 |- ((D |` (Y X. Y)) (_ D -> dom ( D |` (Y X. Y)) (_ dom D)
29	27, 28	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom ( D |` (Y X. Y)) (_ dom D
30		dmss 3310	. . . . . . 7 |- (dom ( D |` (Y X. Y)) (_ dom D -> dom dom ( D |` (Y X. Y)) (_ dom dom D)
31	29, 30	ax-mp 7	. . . . . 6 |- dom dom ( D |` (Y X. Y)) (_ dom dom D
32		fss 3635	. . . . . 6 |- ((F:NN-->dom dom ( D |` (Y X. Y)) /\ dom dom ( D |` (Y X. Y)) (_ dom dom D) -> F:NN-->dom dom D)
33	31, 32	mpan2 696	. . . . 5 |- (F:NN-->dom dom ( D |` (Y X. Y)) -> F:NN-->dom dom D)
34	26, 33	sylan2 451	. . . 4 |- ((D e. Met /\ F:NN-->dom dom ( D |` (Y X. Y))) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))
35	34	adantrl 394	. . 3 |- ((D e. Met /\ (F:NN-->Y /\ F:NN-->dom dom ( D |` (Y X. Y)))) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))
36	19, 25, 35	3bitr4rd 551	. 2 |- ((D e. Met /\ (F:NN-->Y /\ F:NN-->dom dom ( D |` (Y X. Y)))) -> (F e. (Cau` D) <-> F e. (Cau` (D |` (Y X. Y)))))
37		id 59	. 2 |- (F:NN-->Y -> F:NN-->Y)
38	3, 6, 36, 37	lmsslem 7952	1 |- ((D e. Met /\ F:NN-->Y) -> (F e. (Cau` D) <-> F e. (Cau` (D |` (Y X. Y)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170   |` cres 3172  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  Metcme 7789  Caucca 7920

This theorem is referenced by:  cmsss 7997

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850