Theorem caun0 7896

Description: A metric with a Cauchy sequence cannot be empty.

Hypothesis

Ref	Expression
caun0.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
caun0	|- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D)) -> X =/= (/))

Proof of Theorem caun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caun0.1	. . . . 5 |- X = dom dom D
2		1z 6114	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
3		nnuz 6379	. . . . 5 |- NN = (ZZ>` 1)
4	1, 2, 3	iscau3 7890	. . . 4 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
5		3simp1 787	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x) -> (F` j) e. X)
6	5	imim2i 17	. . . . . . . . . 10 |- ((j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> (j <_ k -> (F` j) e. X))
7	6	r19.20si 1703	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> A.k e. NN (j <_ k -> (F` j) e. X))
8		breq2 2618	. . . . . . . . . . 11 |- (k = j -> (j <_ k <-> j <_ j))
9	8	imbi1d 612	. . . . . . . . . 10 |- (k = j -> ((j <_ k -> (F` j) e. X) <-> (j <_ j -> (F` j) e. X)))
10	9	rcla4cv 1870	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN (j <_ k -> (F` j) e. X) -> (j e. NN -> (j <_ j -> (F` j) e. X)))
11		nnret 5885	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN -> j e. RR)
12		leidt 5512	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. RR -> j <_ j)
13		pm2.27 62	. . . . . . . . . . 11 |- (j <_ j -> ((j <_ j -> (F` j) e. X) -> (F` j) e. X))
14	11, 12, 13	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- (j e. NN -> ((j <_ j -> (F` j) e. X) -> (F` j) e. X))
15	14	a2i 9	. . . . . . . . 9 |- ((j e. NN -> (j <_ j -> (F` j) e. X)) -> (j e. NN -> (F` j) e. X))
16	7, 10, 15	3syl 20	. . . . . . . 8 |- (A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> (j e. NN -> (F` j) e. X))
17	16	r19.22si 1731	. . . . . . 7 |- (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X))
18	17	imim2i 17	. . . . . 6 |- ((0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) -> (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
19	18	r19.20si 1703	. . . . 5 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
20	19	adantl 388	. . . 4 |- ((F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
21	4, 20	syl6bi 214	. . 3 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X))))
22		breq2 2618	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> (0 < x <-> 0 < 1))
23	22	imbi1d 612	. . . . . 6 |- (x = 1 -> ((0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) <-> (0 < 1 -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X))))
24		lt01 5661	. . . . . . 7 |- 0 < 1
25	24	a1bi 197	. . . . . 6 |- (E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X) <-> (0 < 1 -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
26	23, 25	syl6bbr 537	. . . . 5 |- (x = 1 -> ((0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) <-> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
27	26	rcla4cv 1870	. . . 4 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) -> (1 e. RR -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
28		1re 5415	. . . . . 6 |- 1 e. RR
29	28	a1bi 197	. . . . 5 |- (E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X) <-> (1 e. RR -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
30		ne0i 2282	. . . . . . . 8 |- ((F` j) e. X -> X =/= (/))
31	30	imim2i 17	. . . . . . 7 |- ((j e. NN -> (F` j) e. X) -> (j e. NN -> X =/= (/)))
32	31	com12 11	. . . . . 6 |- (j e. NN -> ((j e. NN -> (F` j) e. X) -> X =/= (/)))
33	32	r19.23aiv 1740	. . . . 5 |- (E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X) -> X =/= (/))
34	29, 33	sylbir 201	. . . 4 |- ((1 e. RR -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) -> X =/= (/))
35	27, 34	syl 10	. . 3 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) -> X =/= (/))
36	21, 35	syl6 22	. 2 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) -> X =/= (/)))
37	36	imp 350	1 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D)) -> X =/= (/))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643   (_ wss 2043  (/)c0 2276   class class class wbr 2614   X. cxp 3163  dom cdm 3165  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466  Metcme 7739  Caucca 7872

This theorem is referenced by:  iscms2lem5 7943

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-z 6091  df-uz 6358  df-met 7743  df-cau 7875

Copyright terms: Public domain