Theorem caufval 7864

Description: The set of Cauchy sequences on a metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
lmfval.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
caufval	|- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})

Distinct variable groups:   f,j,k,m,x,D   f,X

Proof of Theorem caufval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 3344	. . . . 5 |- (D e. Met -> dom D e. V)
2		dmexg 3344	. . . . 5 |- (dom D e. V -> dom dom D e. V)
3	1, 2	syl 10	. . . 4 |- (D e. Met -> dom dom D e. V)
4		lmfval.1	. . . 4 |- X = dom dom D
5	3, 4	syl5eqel 1544	. . 3 |- (D e. Met -> X e. V)
6		axcnex 5239	. . . 4 |- CC e. V
7		xpexg 3249	. . . 4 |- ((CC e. V /\ X e. V) -> (CC X. X) e. V)
8	6, 7	mpan 693	. . 3 |- (X e. V -> (CC X. X) e. V)
9		abssexg 2737	. . 3 |- ((CC X. X) e. V -> {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. V)
10	5, 8, 9	3syl 20	. 2 |- (D e. Met -> {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. V)
11		dmeq 3300	. . . . . . . . 9 |- (z = D -> dom z = dom D)
12	11	dmeqd 3302	. . . . . . . 8 |- (z = D -> dom dom z = dom dom D)
13	12, 4	syl6eqr 1517	. . . . . . 7 |- (z = D -> dom dom z = X)
14		xpeq2 3191	. . . . . . 7 |- (dom dom z = X -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
15	13, 14	syl 10	. . . . . 6 |- (z = D -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
16	15	sseq2d 2079	. . . . 5 |- (z = D -> (f (_ (CC X. dom dom z) <-> f (_ (CC X. X)))
17	13	eleq2d 1533	. . . . . . . . . . 11 |- (z = D -> ((f` k) e. dom dom z <-> (f` k) e. X))
18	13	eleq2d 1533	. . . . . . . . . . 11 |- (z = D -> ((f` m) e. dom dom z <-> (f` m) e. X))
19	17, 18	3anbi12d 891	. . . . . . . . . 10 |- (z = D -> (((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x) <-> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))
20	19	imbi2d 610	. . . . . . . . 9 |- (z = D -> (((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
21	20	ralbidv 1655	. . . . . . . 8 |- (z = D -> (A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
22	21	rexralbidv 1674	. . . . . . 7 |- (z = D -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
23	22	imbi2d 610	. . . . . 6 |- (z = D -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
24	23	ralbidv 1655	. . . . 5 |- (z = D -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
25	16, 24	anbi12d 626	. . . 4 |- (z = D -> ((f (_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))) <-> (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))))
26	25	abbidv 1569	. . 3 |- (z = D -> {f | (f (_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
27		df-cau 7861	. . 3 |- Cau = {<.z, w>. | (z e. Met /\ w = {f | (f (_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})}
28	26, 27	fvopab4g 3764	. 2 |- ((D e. Met /\ {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. V) -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
29	10, 28	mpdan 702	1 |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   (_ wss 2037   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  dom cdm 3160  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  Metcme 7728  Caucca 7858

This theorem is referenced by:  iscau 7874  h2hcau 8788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we