Theorem caucvglem4 7096

Description: Lemma for caucvg 7099. Anything less that the supremum of S belongs to S.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	|- F:NN-->RR
caucvg.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg.3	|- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}

Assertion

Ref	Expression
caucvglem4	|- (A e. RR -> (A < sup(S, RR, < ) -> A e. S))

Distinct variable groups:   y,z,w,u,v,F   z,S,w   y,A,v,u

Proof of Theorem caucvglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvg.1	. . . . 5 |- F:NN-->RR
2		caucvg.2	. . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
3		caucvg.3	. . . . 5 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}
4	1, 2, 3	caucvglem2 7094	. . . 4 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.f e. S f <_ x)
5	4	suprlubi 6010	. . 3 |- ((A e. RR /\ A < sup(S, RR, < )) -> E.t e. S A < t)
6	5	ex 373	. 2 |- (A e. RR -> (A < sup(S, RR, < ) -> E.t e. S A < t))
7		axlttrn 5476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. RR /\ t e. RR /\ (F` y) e. RR) -> ((A < t /\ t < (F` y)) -> A < (F` y)))
8	1	ffvelrni 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. NN -> (F` y) e. RR)
9	7, 8	syl3an3 859	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. RR /\ t e. RR /\ y e. NN) -> ((A < t /\ t < (F` y)) -> A < (F` y)))
10	9	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ t e. RR /\ y e. NN) -> (A < t -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))
11	10	3exp 830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. RR -> (t e. RR -> (y e. NN -> (A < t -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))))
12	11	com3l 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. RR -> (y e. NN -> (A e. RR -> (A < t -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))))
13	12	com4t 40	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> (A < t -> (t e. RR -> (y e. NN -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))))
14	13	imp41 368	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) /\ y e. NN) -> (t < (F` y) -> A < (F` y)))
15	14	imim2d 25	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) /\ y e. NN) -> ((v <_ y -> t < (F` y)) -> (v <_ y -> A < (F` y))))
16	15	r19.20dva 1701	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) -> (A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y)) -> A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
17	16	r19.22sdv 1730	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) -> (E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y)) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
18	17	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A < t) -> (t e. RR -> (E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y)) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y)))))
19	18	imp3a 361	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ A < t) -> ((t e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y))) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
20		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ A < t) -> A e. RR)
21	19, 20	jctild 599	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ A < t) -> ((t e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y))) -> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y)))))
22	1, 2, 3	caucvglem1 7093	. . . . . 6 |- (t e. S <-> (t e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y))))
23	1, 2, 3	caucvglem1 7093	. . . . . 6 |- (A e. S <-> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
24	21, 22, 23	3imtr4g 551	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ A < t) -> (t e. S -> A e. S))
25	24	ex 373	. . . 4 |- (A e. RR -> (A < t -> (t e. S -> A e. S)))
26	25	com23 32	. . 3 |- (A e. RR -> (t e. S -> (A < t -> A e. S)))
27	26	r19.23adv 1738	. 2 |- (A e. RR -> (E.t e. S A < t -> A e. S))
28	6, 27	syld 27	1 |- (A e. RR -> (A < sup(S, RR, < ) -> A e. S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   class class class wbr 2609  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  0cc0 5206   - cmin 5264   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458  abscabs 6681

This theorem is referenced by:  caucvglem6 7098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685

Copyright terms: Public domain