Theorem caucvglem1 7171

Description: Lemma for caucvg 7177. This lemma shows the membership relation for S.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	|- F:NN-->RR
caucvg.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg.3	|- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}

Assertion

Ref	Expression
caucvglem1	|- (A e. S <-> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))

Distinct variable groups:   y,z,w,u,v,F   z,S,w   y,A,v,u

Proof of Theorem caucvglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2635	. . . 4 |- (u = A -> (u < (F` y) <-> A < (F` y)))
2	1	imbi2d 615	. . 3 |- (u = A -> ((v <_ y -> u < (F` y)) <-> (v <_ y -> A < (F` y))))
3	2	rexralbidv 1689	. 2 |- (u = A -> (E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y)) <-> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
4		caucvg.3	. 2 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}
5	3, 4	elrab2 1914	1 |- (A e. S <-> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 960   e. wcel 962  A.wral 1652  E.wrex 1653  {crab 1655   class class class wbr 2632  -->wf 3192  ` cfv 3196  (class class class)co 3977  RRcr 5246  0cc0 5247   - cmin 5305   <_ cle 5308  NNcn 5309   < clt 5499  abscabs 6764

This theorem is referenced by:  caucvglem2 7172  caucvglem4 7174  caucvglem5 7175  caucvglem6 7176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-10 970  ax-12 972  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 985  df-sb 1178  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ral 1656  df-rex 1657  df-rab 1659  df-v 1819  df-un 2059  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-br 2633

Copyright terms: Public domain