Theorem caucvg3a 7108

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). This version shows the explicit value of the limit (which is why we need all the hypotheses) rather than just its existence.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg3a.1	|- F:NN-->CC
caucvg3a.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg3a.3	|- G Fn NN
caucvg3a.4	|- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (F` x)))
caucvg3a.4a	|- R = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (G` y))}
caucvg3a.5	|- H Fn NN
caucvg3a.6	|- (x e. NN -> (H` x) = (Im` (F` x)))
caucvg3a.6a	|- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (H` y))}
caucvg3a.7	|- D Fn NN
caucvg3a.8	|- (x e. NN -> (D` x) = (i x. (H` x)))

Assertion

Ref	Expression
caucvg3a	|- F ~~> (sup(R, RR, < ) + (i x. sup(S, RR, < )))

Distinct variable groups:   x,v,u,F   x,y,z,w,G,v,u   x,H,y,z,w,v,u   x,D,u,v   x,R,z,w   z,S,w

Proof of Theorem caucvg3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 3819	. . . . 5 |- (G:NN-->RR <-> (G Fn NN /\ A.x e. NN (G` x) e. RR))
2		caucvg3a.3	. . . . 5 |- G Fn NN
3		caucvg3a.4	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (F` x)))
4		caucvg3a.1	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->CC
5	4	ffvelrni 3806	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (F` x) e. CC)
6		reclt 6696	. . . . . . . 8 |- ((F` x) e. CC -> (Re` (F` x)) e. RR)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (Re` (F` x)) e. RR)
8	3, 7	eqeltrd 1545	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) e. RR)
9	8	rgen 1695	. . . . 5 |- A.x e. NN (G` x) e. RR
10	1, 2, 9	mpbir2an 729	. . . 4 |- G:NN-->RR
11		caucvg3a.2	. . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
12	4, 11, 2, 3	caure 6872	. . . 4 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))
13		caucvg3a.4a	. . . 4 |- R = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (G` y))}
14	10, 12, 13	caucvg 7107	. . 3 |- G ~~> sup(R, RR, < )
15		axicn 5250	. . . 4 |- i e. CC
16		ltso 5492	. . . . 5 |- < Or RR
17	16	supex 4557	. . . 4 |- sup(S, RR, < ) e. V
18		ffnfv 3819	. . . . . 6 |- (H:NN-->RR <-> (H Fn NN /\ A.x e. NN (H` x) e. RR))
19		caucvg3a.5	. . . . . 6 |- H Fn NN
20		caucvg3a.6	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (H` x) = (Im` (F` x)))
21		imclt 6697	. . . . . . . . 9 |- ((F` x) e. CC -> (Im` (F` x)) e. RR)
22	5, 21	syl 10	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (Im` (F` x)) e. RR)
23	20, 22	eqeltrd 1545	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (H` x) e. RR)
24	23	rgen 1695	. . . . . 6 |- A.x e. NN (H` x) e. RR
25	18, 19, 24	mpbir2an 729	. . . . 5 |- H:NN-->RR
26	4, 11, 19, 20	cauim 6873	. . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((H` y) - (H` w))) < z))
27		caucvg3a.6a	. . . . 5 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (H` y))}
28	25, 26, 27	caucvg 7107	. . . 4 |- H ~~> sup(S, RR, < )
29		caucvg3a.7	. . . 4 |- D Fn NN
30	23	recnd 5295	. . . . 5 |- (x e. NN -> (H` x) e. CC)
31		caucvg3a.8	. . . . 5 |- (x e. NN -> (D` x) = (i x. (H` x)))
32	30, 31	jca 288	. . . 4 |- (x e. NN -> ((H` x) e. CC /\ (D` x) = (i x. (H` x))))
33	15, 17, 28, 29, 32	climmulc 7077	. . 3 |- D ~~> (i x. sup(S, RR, < ))
34	14, 33	pm3.2i 285	. 2 |- (G ~~> sup(R, RR, < ) /\ D ~~> (i x. sup(S, RR, < )))
35		1z 6114	. . 3 |- 1 e. ZZ
36		elnnuz 6380	. . . . 5 |- (x e. NN <-> x e. (ZZ>` 1))
37	7	recnd 5295	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (Re` (F` x)) e. CC)
38	3, 37	eqeltrd 1545	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) e. CC)
39		axmulcl 5253	. . . . . . . . 9 |- ((i e. CC /\ (H` x) e. CC) -> (i x. (H` x)) e. CC)
40	15, 39	mpan 694	. . . . . . . 8 |- ((H` x) e. CC -> (i x. (H` x)) e. CC)
41	30, 40	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (i x. (H` x)) e. CC)
42	31, 41	eqeltrd 1545	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (D` x) e. CC)
43		replimtOLD 6701	. . . . . . . 8 |- ((F` x) e. CC -> (F` x) = ((Re` (F` x)) + ((Im` (F` x)) x. i)))
44	5, 43	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (F` x) = ((Re` (F` x)) + ((Im` (F` x)) x. i)))
45		axmulcom 5256	. . . . . . . . . . 11 |- ((i e. CC /\ (H` x) e. CC) -> (i x. (H` x)) = ((H` x) x. i))
46	15, 45	mpan 694	. . . . . . . . . 10 |- ((H` x) e. CC -> (i x. (H` x)) = ((H` x) x. i))
47	30, 46	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (i x. (H` x)) = ((H` x) x. i))
48	20	opreq1d 3966	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> ((H` x) x. i) = ((Im` (F` x)) x. i))
49	31, 47, 48	3eqtrd 1508	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (D` x) = ((Im` (F` x)) x. i))
50	3, 49	opreq12d 3969	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> ((G` x) + (D` x)) = ((Re` (F` x)) + ((Im` (F` x)) x. i)))
51	44, 50	eqtr4d 1507	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (F` x) = ((G` x) + (D` x)))
52	38, 42, 51	3jca 818	. . . . 5 |- (x e. NN -> ((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
53	36, 52	sylbir 201	. . . 4 |- (x e. (ZZ>` 1) -> ((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
54	53	rgen 1695	. . 3 |- A.x e. (ZZ>` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x)))
55	35, 54	pm3.2i 285	. 2 |- (1 e. ZZ /\ A.x e. (ZZ>` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
56		nnex 5889	. . . 4 |- NN e. V
57		fnex 3599	. . . 4 |- ((G Fn NN /\ NN e. V) -> G e. V)
58	2, 56, 57	mp2an 696	. . 3 |- G e. V
59		fnex 3599	. . . 4 |- ((D Fn NN /\ NN e. V) -> D e. V)
60	29, 56, 59	mp2an 696	. . 3 |- D e. V
61		fex 3643	. . . 4 |- ((F:NN-->CC /\ NN e. V) -> F e. V)
62	4, 56, 61	mp2an 696	. . 3 |- F e. V
63	16	supex 4557	. . 3 |- sup(R, RR, < ) e. V
64		oprex 3974	. . 3 |- (i x. sup(S, RR, < )) e. V
65	58, 60, 62, 63, 64	climadd 7061	. 2 |- (((G ~~> sup(R, RR, < ) /\ D ~~> (i x. sup(S, RR, < ))) /\ (1 e. ZZ /\ A.x e. (ZZ>` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))) -> F ~~> (sup(R, RR, < ) + (i x. sup(S, RR, < ))))
66	34, 55, 65	mp2an 696	1 |- F ~~> (sup(R, RR, < ) + (i x. sup(S, RR, < )))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  {crab 1645  Vcvv 1807   class class class wbr 2614   Fn wfn 3172  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215  ici 5216   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272   <_ cle 5275  NNcn 5276  ZZcz 5278   < clt 5466  ZZ>cuz 6357  Recre 6686  Imcim 6687  abscabs 6689   ~~> cli 6920

This theorem is referenced by:  cvgcmp3c 7130

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq