Theorem cau4i 6855

Description: A relationship used to derive two ways to express a Cauchy sequence. ph is ph(j, k).

Hypotheses

Ref	Expression
cau4i.1	|- M e. ZZ
cau4i.2	|- Z = (ZZ>` M)

Assertion

Ref	Expression
cau4i	|- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))

Distinct variable groups:   j,k,M   j,Z,k

Proof of Theorem cau4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau4i.2	. . . 4 |- Z = (ZZ>` M)
2		rexeq1 1779	. . . 4 |- (Z = (ZZ>` M) -> (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) <-> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. Z (j <_ k -> ph)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) <-> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. Z (j <_ k -> ph))
4		cau4i.1	. . . 4 |- M e. ZZ
5		rexuz 6376	. . . 4 |- (M e. ZZ -> (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. Z (j <_ k -> ph) <-> E.j e. ZZ (M <_ j /\ A.k e. Z (j <_ k -> ph))))
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. Z (j <_ k -> ph) <-> E.j e. ZZ (M <_ j /\ A.k e. Z (j <_ k -> ph)))
7	3, 6	bitr 173	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) <-> E.j e. ZZ (M <_ j /\ A.k e. Z (j <_ k -> ph)))
8	4	zre 6088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M e. RR
9		letrt 5498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. RR /\ j e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ j /\ j <_ k) -> M <_ k))
10	8, 9	mp3an1 900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((j e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ j /\ j <_ k) -> M <_ k))
11		zret 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
12		zret 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
13	10, 11, 12	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((j e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M <_ j /\ j <_ k) -> M <_ k))
14	13	exp4b 379	. . . . . . . . . . . 12 |- (j e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ j -> (j <_ k -> M <_ k))))
15	14	com23 32	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. ZZ -> (M <_ j -> (k e. ZZ -> (j <_ k -> M <_ k))))
16	15	imp31 362	. . . . . . . . . 10 |- (((j e. ZZ /\ M <_ j) /\ k e. ZZ) -> (j <_ k -> M <_ k))
17	16	ancrd 299	. . . . . . . . 9 |- (((j e. ZZ /\ M <_ j) /\ k e. ZZ) -> (j <_ k -> (M <_ k /\ j <_ k)))
18	17	imim1d 28	. . . . . . . 8 |- (((j e. ZZ /\ M <_ j) /\ k e. ZZ) -> (((M <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> (j <_ k -> ph)))
19		impexp 347	. . . . . . . 8 |- (((M <_ k /\ j <_ k) -> ph) <-> (M <_ k -> (j <_ k -> ph)))
20	18, 19	syl5ibr 207	. . . . . . 7 |- (((j e. ZZ /\ M <_ j) /\ k e. ZZ) -> ((M <_ k -> (j <_ k -> ph)) -> (j <_ k -> ph)))
21	20	r19.20dva 1701	. . . . . 6 |- ((j e. ZZ /\ M <_ j) -> (A.k e. ZZ (M <_ k -> (j <_ k -> ph)) -> A.k e. ZZ (j <_ k -> ph)))
22		raleq1 1778	. . . . . . . 8 |- (Z = (ZZ>` M) -> (A.k e. Z (j <_ k -> ph) <-> A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> ph)))
23	1, 22	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.k e. Z (j <_ k -> ph) <-> A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> ph))
24		raluz 6374	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ (M <_ k -> (j <_ k -> ph))))
25	4, 24	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>` M)(j <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ (M <_ k -> (j <_ k -> ph)))
26	23, 25	bitr 173	. . . . . 6 |- (A.k e. Z (j <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ (M <_ k -> (j <_ k -> ph)))
27	21, 26	syl5ib 206	. . . . 5 |- ((j e. ZZ /\ M <_ j) -> (A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> A.k e. ZZ (j <_ k -> ph)))
28	27	ex 373	. . . 4 |- (j e. ZZ -> (M <_ j -> (A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))))
29	28	imp3a 361	. . 3 |- (j e. ZZ -> ((M <_ j /\ A.k e. Z (j <_ k -> ph)) -> A.k e. ZZ (j <_ k -> ph)))
30	29	r19.22i 1724	. 2 |- (E.j e. ZZ (M <_ j /\ A.k e. Z (j <_ k -> ph)) -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))
31	7, 30	sylbi 199	1 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  RRcr 5205   <_ cle 5267  ZZcz 5270  ZZ>cuz 6349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-z 6083  df-uz 6350

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