Theorem cau2 6858

Description: Two ways to express that a sequence meets the Cauchy criterion. Remark in [Gleason] p. 181. R can be either < or <_.

Hypotheses

Ref	Expression
cau2.1	|- F:NN-->CC
cau2.2	|- (x e. RR -> (0 < x -> 0Rx))

Assertion

Ref	Expression
cau2	|- (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))

Distinct variable groups:   x,y,z   y,R,z

Proof of Theorem cau2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau2.2	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> (0 < x -> 0Rx))
2	1	imp 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> 0Rx)
3		fveq2 3715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = z -> (F` y) = (F` z))
4	3	opreq2d 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = z -> ((F` z) - (F` y)) = ((F` z) - (F` z)))
5		cau2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F:NN-->CC
6	5	ffvelrni 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. NN -> (F` z) e. CC)
7		subidt 5375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` z) e. CC -> ((F` z) - (F` z)) = 0)
8	6, 7	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. NN -> ((F` z) - (F` z)) = 0)
9	4, 8	sylan9eqr 1526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. NN /\ y = z) -> ((F` z) - (F` y)) = 0)
10	9	fveq2d 3719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) = (abs` 0))
11		abs0 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (abs` 0) = 0
12	10, 11	syl6eq 1520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) = 0)
13	12	breq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. NN /\ y = z) -> ((abs` ((F` z) - (F` y)))Rx <-> 0Rx))
14	13	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . 12 |- (0Rx -> ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
15	14	exp3a 375	. . . . . . . . . . 11 |- (0Rx -> (z e. NN -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
16	2, 15	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (z e. NN -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
17	16	imp 350	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ z e. NN) -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
18	17	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
19	18	biantrud 725	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) /\ (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))))
20		jaob 422	. . . . . . 7 |- (((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) /\ (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
21	19, 20	syl6bbr 537	. . . . . 6 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
22		leloet 5499	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
23		nnret 5885	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. RR)
24		nnret 5885	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> z e. RR)
25	22, 23, 24	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((y e. NN /\ z e. NN) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
26	25	adantll 392	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
27	26	imbi1d 612	. . . . . 6 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
28	21, 27	bitr4d 530	. . . . 5 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
29	28	ralbidva 1656	. . . 4 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) -> (A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
30	29	rexbidva 1657	. . 3 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
31	30	pm5.74da 585	. 2 |- (x e. RR -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))))
32	31	ralbiia 1670	1 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214   - cmin 5272   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466  abscabs 6689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693

Copyright terms: Public domain