Theorem cardonle 4822

Description: The cardinal of an ordinal number is less than or equal to the ordinal number. Proposition 10.6(3) of [TakeutiZaring] p. 85.

Assertion

Ref	Expression
cardonle	|- (A e. On -> (card` A) (_ A)

Proof of Theorem cardonle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oncardval 4819	. 2 |- (A e. On -> (card` A) = |^|{x e. On | x ~~ A})
2		enrefg 4390	. . 3 |- (A e. On -> A ~~ A)
3		breq1 2622	. . . . 5 |- (x = A -> (x ~~ A <-> A ~~ A))
4	3	elrab 1905	. . . 4 |- (A e. {x e. On | x ~~ A} <-> (A e. On /\ A ~~ A))
5		intss1 2548	. . . 4 |- (A e. {x e. On | x ~~ A} -> |^|{x e. On | x ~~ A} (_ A)
6	4, 5	sylbir 201	. . 3 |- ((A e. On /\ A ~~ A) -> |^|{x e. On | x ~~ A} (_ A)
7	2, 6	mpdan 704	. 2 |- (A e. On -> |^|{x e. On | x ~~ A} (_ A)
8	1, 7	eqsstrd 2095	1 |- (A e. On -> (card` A) (_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  {crab 1648   (_ wss 2047  |^|cint 2533   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  ` cfv 3182   ~~ cen 4364  cardccrd 4813

This theorem is referenced by:  card0 4823  cardnn 4824  cardom 4825  oncard 4829  iscard 4853  iscard2 4854  carduni 4858  cfle 4913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-en 4368  df-card 4816

Copyright terms: Public domain