Theorem cardon 4827

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. Unlike Takeuti/Zaring's proposition, we need the Axiom of Choice (in cardval 4826) because of our slightly different definition of of cardinal number.

Assertion

Ref	Expression
cardon	|- (card` A) e. On

Proof of Theorem cardon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardval 4826	. 2 |- (card` A) = |^|{x e. On | x ~~ A}
2		ssrab2 2131	. . 3 |- {x e. On | x ~~ A} (_ On
3		fvex 3732	. . . . 5 |- (card` A) e. V
4	1, 3	eqeltrr 1545	. . . 4 |- |^|{x e. On | x ~~ A} e. V
5		intex 2729	. . . 4 |- ({x e. On | x ~~ A} =/= (/) <-> |^|{x e. On | x ~~ A} e. V)
6	4, 5	mpbir 190	. . 3 |- {x e. On | x ~~ A} =/= (/)
7		oninton 3012	. . 3 |- (({x e. On | x ~~ A} (_ On /\ {x e. On | x ~~ A} =/= (/)) -> |^|{x e. On | x ~~ A} e. On)
8	2, 6, 7	mp2an 697	. 2 |- |^|{x e. On | x ~~ A} e. On
9	1, 8	eqeltr 1544	1 |- (card` A) e. On

Syntax hints:   e. wcel 958   =/= wne 1585  {crab 1648  Vcvv 1811   (_ wss 2047  (/)c0 2280  |^|cint 2533   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  ` cfv 3182   ~~ cen 4364  cardccrd 4813

This theorem is referenced by:  oncard 4829  cardne 4830  carden 4831  carddomi 4835  carddom 4836  cardsdom 4837  domtri 4838  cardlim 4851  cardsdomel 4852  iscard 4853  iscard2 4854  cardval2 4855  carduni 4858  cardprc 4861  alephnbtwn 4868  cardaleph 4885  iscard3 4888  alephsson 4894  alephval3 4903  cardcf 4911  cfeq0 4914  cfsuc 4915  cda1en 4926

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-en 4368  df-card 4816

Copyright terms: Public domain