Theorem cardom 4835

Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
cardom	|- (card` om) = om

Proof of Theorem cardom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 4638	. . . 4 |- om e. On
2		oncardid 4831	. . . 4 |- (om e. On -> (card` om) ~~ om)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- (card` om) ~~ om
4		nnsdom 4645	. . . 4 |- ((card` om) e. om -> (card` om) ~< om)
5		sdomnen 4393	. . . 4 |- ((card` om) ~< om -> -. (card` om) ~~ om)
6	4, 5	syl 10	. . 3 |- ((card` om) e. om -> -. (card` om) ~~ om)
7	3, 6	mt2 109	. 2 |- -. (card` om) e. om
8		cardonle 4832	. . . . 5 |- (om e. On -> (card` om) (_ om)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- (card` om) (_ om
10		oncardon 4830	. . . . . 6 |- (om e. On -> (card` om) e. On)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (card` om) e. On
12	11, 1	onssel 3115	. . . 4 |- ((card` om) (_ om <-> ((card` om) e. om \/ (card` om) = om))
13	9, 12	mpbi 189	. . 3 |- ((card` om) e. om \/ (card` om) = om)
14	13	ori 230	. 2 |- (-. (card` om) e. om -> (card` om) = om)
15	7, 14	ax-mp 7	1 |- (card` om) = om

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  Oncon0 2954  omcom 3137  ` cfv 3188   ~~ cen 4370   ~< csdm 4372  cardccrd 4823

This theorem is referenced by:  alephcard 4878  alephval2 4913  cfom 4928

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377  df-card 4826

Copyright terms: Public domain