Theorem cardnn 4804

Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
cardnn	|- (A e. om -> (card` A) = A)

Proof of Theorem cardnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 4374	. . . 4 |- ((card` A) ~< A -> -. (card` A) ~~ A)
2		nnont 3133	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
3		oncardid 4801	. . . . 5 |- (A e. On -> (card` A) ~~ A)
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (A e. om -> (card` A) ~~ A)
5	1, 4	nsyl3 119	. . 3 |- (A e. om -> -. (card` A) ~< A)
6		oncardon 4800	. . . . . 6 |- (A e. On -> (card` A) e. On)
7		ordelpss 2970	. . . . . . 7 |- ((Ord (card` A) /\ Ord A) -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
8		eloni 2953	. . . . . . 7 |- ((card` A) e. On -> Ord (card` A))
9		eloni 2953	. . . . . . 7 |- (A e. On -> Ord A)
10	7, 8, 9	syl2an 454	. . . . . 6 |- (((card` A) e. On /\ A e. On) -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
11	6, 10	mpancom 704	. . . . 5 |- (A e. On -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
12	2, 11	syl 10	. . . 4 |- (A e. om -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
13		cardonle 4802	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> (card` A) (_ A)
14		onsseleq 2994	. . . . . . . . 9 |- (((card` A) e. On /\ A e. On) -> ((card` A) (_ A <-> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A)))
15	6, 14	mpancom 704	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> ((card` A) (_ A <-> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A)))
16	13, 15	mpbid 195	. . . . . . 7 |- (A e. On -> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A))
17	2, 16	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. om -> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A))
18		elnn 3137	. . . . . . . 8 |- (((card` A) e. A /\ A e. om) -> (card` A) e. om)
19	18	expcom 374	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((card` A) e. A -> (card` A) e. om))
20		eleq1a 1540	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((card` A) = A -> (card` A) e. om))
21	19, 20	jaod 424	. . . . . 6 |- (A e. om -> (((card` A) e. A \/ (card` A) = A) -> (card` A) e. om))
22	17, 21	mpd 26	. . . . 5 |- (A e. om -> (card` A) e. om)
23		nnsdomo 4507	. . . . 5 |- (((card` A) e. om /\ A e. om) -> ((card` A) ~< A <-> (card` A) (. A))
24	22, 23	mpancom 704	. . . 4 |- (A e. om -> ((card` A) ~< A <-> (card` A) (. A))
25	12, 24	bitr4d 530	. . 3 |- (A e. om -> ((card` A) e. A <-> (card` A) ~< A))
26	5, 25	mtbird 714	. 2 |- (A e. om -> -. (card` A) e. A)
27	17	ord 232	. 2 |- (A e. om -> (-. (card` A) e. A -> (card` A) = A))
28	26, 27	mpd 26	1 |- (A e. om -> (card` A) = A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043   (. wpss 2044   class class class wbr 2614  Ord word 2942  Oncon0 2943  omcom 3126  ` cfv 3177   ~~ cen 4354   ~< csdm 4356  cardccrd 4793

This theorem is referenced by:  card1 4813  iscard3 4868

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-card 4796

Copyright terms: Public domain