Theorem cardne 4840

Description: No member of a cardinal number of a set is equinumerous to the set. Proposition 10.6(2) of [TakeutiZaring] p. 85.

Assertion

Ref	Expression
cardne	|- (A e. (card` B) -> -. A ~~ B)

Proof of Theorem cardne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 4837	. . 3 |- (card` B) e. On
2	1	onel 3104	. 2 |- (A e. (card` B) -> A e. On)
3		breq1 2627	. . . . . 6 |- (x = A -> (x ~~ B <-> A ~~ B))
4	3	onintss 3017	. . . . 5 |- (A e. On -> (A ~~ B -> |^|{x e. On | x ~~ B} (_ A))
5		cardval 4836	. . . . . 6 |- (card` B) = |^|{x e. On | x ~~ B}
6	5	sseq1i 2088	. . . . 5 |- ((card` B) (_ A <-> |^|{x e. On | x ~~ B} (_ A)
7	4, 6	syl6ibr 213	. . . 4 |- (A e. On -> (A ~~ B -> (card` B) (_ A))
8		ontri1 2987	. . . . 5 |- (((card` B) e. On /\ A e. On) -> ((card` B) (_ A <-> -. A e. (card` B)))
9	1, 8	mpan 697	. . . 4 |- (A e. On -> ((card` B) (_ A <-> -. A e. (card` B)))
10	7, 9	sylibd 202	. . 3 |- (A e. On -> (A ~~ B -> -. A e. (card` B)))
11	10	con2d 91	. 2 |- (A e. On -> (A e. (card` B) -> -. A ~~ B))
12	2, 11	mpcom 49	1 |- (A e. (card` B) -> -. A ~~ B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 960  {crab 1651   (_ wss 2050  |^|cint 2537   class class class wbr 2624  Oncon0 2954  ` cfv 3188   ~~ cen 4370  cardccrd 4823

This theorem is referenced by:  carden 4841  cardlim 4862  cardsdomel 4863

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-en 4374  df-card 4826

Copyright terms: Public domain