Theorem cardidm 4849

Description: The cardinality function is idempotent. Proposition 10.11 of [TakeutiZaring] p. 85.

Assertion

Ref	Expression
cardidm	|- (card` (card` A)) = (card` A)

Proof of Theorem cardidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid 4828	. . 3 |- (card` A) ~~ A
2		fvex 3732	. . . 4 |- (card` A) e. V
3		carden 4831	. . . 4 |- (((card` A) e. V /\ A e. V) -> ((card` (card` A)) = (card` A) <-> (card` A) ~~ A))
4	2, 3	mpan 695	. . 3 |- (A e. V -> ((card` (card` A)) = (card` A) <-> (card` A) ~~ A))
5	1, 4	mpbiri 194	. 2 |- (A e. V -> (card` (card` A)) = (card` A))
6		card0 4823	. . 3 |- (card` (/)) = (/)
7		fvprc 3721	. . . 4 |- (-. A e. V -> (card` A) = (/))
8	7	fveq2d 3728	. . 3 |- (-. A e. V -> (card` (card` A)) = (card` (/)))
9	6, 8, 7	3eqtr4a 1532	. 2 |- (-. A e. V -> (card` (card` A)) = (card` A))
10	5, 9	pm2.61i 126	1 |- (card` (card` A)) = (card` A)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  ` cfv 3182   ~~ cen 4364  cardccrd 4813

This theorem is referenced by:  cardlim 4851  cardsdomel 4852  cardiun 4859  cardprc 4861  alephnbtwn2 4869  alephval2 4902  cardcf 4911  cfeq0 4914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-er 4261  df-en 4368  df-card 4816

Copyright terms: Public domain