Theorem card1 4833

Description: A set has cardinality one iff it is a singleton.

Assertion

Ref	Expression
card1	|- ((card` A) = 1o <-> E.x A = {x})

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem card1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0 4142	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
2		df-ne 1587	. . . . . 6 |- (1o =/= (/) <-> -. 1o = (/))
3	1, 2	mpbi 189	. . . . 5 |- -. 1o = (/)
4		eqeq1 1481	. . . . 5 |- ((card` A) = 1o -> ((card` A) = (/) <-> 1o = (/)))
5	3, 4	mtbiri 717	. . . 4 |- ((card` A) = 1o -> -. (card` A) = (/))
6		fvprc 3721	. . . 4 |- (-. A e. V -> (card` A) = (/))
7	5, 6	nsyl2 118	. . 3 |- ((card` A) = 1o -> A e. V)
8		relen 4372	. . . 4 |- Rel ~~
9	8	brrelexi 3208	. . 3 |- (A ~~ 1o -> A e. V)
10		1onn 4253	. . . . 5 |- 1o e. om
11		carden 4831	. . . . 5 |- ((A e. V /\ 1o e. om) -> ((card` A) = (card` 1o) <-> A ~~ 1o))
12	10, 11	mpan2 696	. . . 4 |- (A e. V -> ((card` A) = (card` 1o) <-> A ~~ 1o))
13		cardnn 4824	. . . . . 6 |- (1o e. om -> (card` 1o) = 1o)
14	10, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (card` 1o) = 1o
15	14	eqeq2i 1485	. . . 4 |- ((card` A) = (card` 1o) <-> (card` A) = 1o)
16	12, 15	syl5bbr 534	. . 3 |- (A e. V -> ((card` A) = 1o <-> A ~~ 1o))
17	7, 9, 16	pm5.21nii 679	. 2 |- ((card` A) = 1o <-> A ~~ 1o)
18		en1 4426	. 2 |- (A ~~ 1o <-> E.x A = {x})
19	17, 18	bitr 173	1 |- ((card` A) = 1o <-> E.x A = {x})

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  Vcvv 1811  (/)c0 2280  {csn 2409   class class class wbr 2619  omcom 3131  ` cfv 3182  1oc1o 4128   ~~ cen 4364  cardccrd 4813

This theorem is referenced by:  cardsn 4834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-1o 4133  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816

Copyright terms: Public domain